Номер 1620, страница 297 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Минимальная длина волны излучаемого фотона, $\lambda_0 = 250$ нм = $250 \cdot 10^{-9}$ м

Длина волны при переходе $E_3 \to E_2$, $\lambda_{32} = 545$ нм = $545 \cdot 10^{-9}$ м

Длина волны при переходе $E_2 \to E_4$, $\lambda_{24} = 400$ нм = $400 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Длину волны при переходе $E_1 \to E_3$, $\lambda_{13}$

Решение:

Энергия фотона, излучаемого или поглощаемого при переходе атома между энергетическими уровнями $E_i$ и $E_j$, определяется разностью энергий этих уровней:

$\Delta E = |E_j - E_i| = \frac{hc}{\lambda_{ij}}$

где $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света в вакууме, $\lambda_{ij}$ — длина волны фотона.

Минимальная длина волны излучаемого фотона ($\lambda_0$) соответствует максимально возможной энергии излучения. В данной системе из четырех уровней максимальная энергия выделяется при переходе с самого высокого уровня $E_4$ на самый низкий $E_1$. Таким образом, $\lambda_0$ соответствует переходу $E_4 \to E_1$.

$E_4 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_0}$

Согласно условию и рисунку, запишем соотношения для энергий переходов:

1. Переход $E_4 \to E_1$: $E_4 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_0}$

2. Переход $E_3 \to E_2$: $E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_{32}}$

3. Переход $E_2 \to E_4$: $E_4 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_{24}}$

Нам необходимо найти $\lambda_{13}$, которое соответствует разности энергий $E_3 - E_1$:

$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_{13}}$

Выразим искомую разность энергий $E_3 - E_1$ через известные. Энергетический интервал $E_3 - E_1$ можно представить как сумму или разность других интервалов. Например:

$E_3 - E_1 = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1)$

Разность энергий $E_3 - E_2$ нам известна. Найдем разность $E_2 - E_1$. Ее можно выразить через разности энергий $E_4 - E_1$ и $E_4 - E_2$:

$E_2 - E_1 = (E_4 - E_1) - (E_4 - E_2)$

Теперь подставим выражение для $E_2 - E_1$ в формулу для $E_3 - E_1$:

$E_3 - E_1 = (E_3 - E_2) + ((E_4 - E_1) - (E_4 - E_2))$

Далее подставим выражения для энергий через длины волн:

$\frac{hc}{\lambda_{13}} = \frac{hc}{\lambda_{32}} + (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_{24}})$

Сократив постоянный множитель $hc$, получим формулу для расчета:

$\frac{1}{\lambda_{13}} = \frac{1}{\lambda_{32}} + \frac{1}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_{24}}$

Подставим числовые значения. Можно оставить длины волн в нанометрах, тогда результат также будет в нанометрах.

$\frac{1}{\lambda_{13}} = \frac{1}{545} + \frac{1}{250} - \frac{1}{400}$

Выполним вычисления, используя обыкновенные дроби для точности:

$\frac{1}{\lambda_{13}} = \frac{1}{545} + (\frac{1}{250} - \frac{1}{400}) = \frac{1}{545} + (\frac{8}{2000} - \frac{5}{2000}) = \frac{1}{545} + \frac{3}{2000}$

$\frac{1}{\lambda_{13}} = \frac{1 \cdot 2000 + 3 \cdot 545}{545 \cdot 2000} = \frac{2000 + 1635}{1090000} = \frac{3635}{1090000}$

Теперь найдем $\lambda_{13}$:

$\lambda_{13} = \frac{1090000}{3635} \approx 299.86$ нм

Округляя результат до целых, получаем $\lambda_{13} \approx 300$ нм.

Ответ: $\lambda_{13} \approx 300$ нм.