Номер 1621, страница 297 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Энергия поглощенного фотона $E = 12 \text{ эВ}$

Энергия атома водорода в основном состоянии $E_1 = -13,55 \text{ эВ}$

Перевод в СИ:

$E = 12 \text{ эВ} = 12 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1,922 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

$E_1 = -13,55 \text{ эВ} = -13,55 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx -2,171 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

$n$ — номер энергетического уровня, на который переходит атом;

$N$ — возможное число линий в спектре излучения;

$\lambda$ — соответствующие длины волн.

Решение:

Определите номер n энергетического уровня, на который переходит атом водорода

При поглощении фотона с энергией $E$ атом водорода переходит из основного состояния с энергией $E_1$ в возбужденное состояние с энергией $E_n$. Согласно закону сохранения энергии, энергия атома в возбужденном состоянии будет равна:

$E_n = E_1 + E$

Подставим известные значения:

$E_n = -13,55 \text{ эВ} + 12 \text{ эВ} = -1,55 \text{ эВ}$

Энергия электрона в атоме водорода на $n$-м энергетическом уровне описывается формулой Бора:

$E_n = \frac{E_1}{n^2}$

где $n$ — главное квантовое число (номер уровня). Выразим $n$ из этой формулы:

$n = \sqrt{\frac{E_1}{E_n}}$

Подставим вычисленное значение $E_n$:

$n = \sqrt{\frac{-13,55 \text{ эВ}}{-1,55 \text{ эВ}}} = \sqrt{8,74} \approx 2,95$

Так как номер энергетического уровня $n$ должен быть целым числом, округляем полученное значение до ближайшего целого. Следовательно, атом переходит на третий энергетический уровень.

Ответ: Атом водорода переходит на энергетический уровень с номером $n=3$.

Определите возможное число N линий в спектре излучения при переходе атома на более низкие энергетические уровни

Находясь в возбужденном состоянии с главным квантовым числом $n=3$, атом может возвращаться в основное состояние, совершая переходы на более низкие энергетические уровни ($n=2$ и $n=1$). Общее число возможных спектральных линий при переходе с уровня $n$ на все более низкие уровни можно рассчитать по формуле:

$N = \frac{n(n-1)}{2}$

Подставляем $n=3$:

$N = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Это соответствует трем возможным переходам: с 3-го уровня на 2-й ($3 \to 2$), с 3-го на 1-й ($3 \to 1$) и со 2-го на 1-й ($2 \to 1$).

Ответ: Возможное число линий в спектре излучения $N=3$.

Вычислите соответствующие длины волн

Длина волны $\lambda$ излучаемого фотона связана с разностью энергий $\Delta E$ между уровнями $n_2$ и $n_1$ ($n_2 > n_1$), между которыми происходит переход:

$\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = \frac{hc}{\lambda}$

Отсюда $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$. Для удобства расчетов воспользуемся значением константы $hc \approx 1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}$.

Сначала найдем энергии для уровней $n=2$ и $n=3$:

$E_2 = \frac{E_1}{2^2} = \frac{-13,55 \text{ эВ}}{4} = -3,3875 \text{ эВ}$

$E_3 = \frac{E_1}{3^2} = \frac{-13,55 \text{ эВ}}{9} \approx -1,506 \text{ эВ}$

Теперь рассчитаем длины волн для каждого из трех возможных переходов:

1. Переход $3 \to 2$ (серия Бальмера):

$\Delta E_{32} = E_3 - E_2 = (-1,506) - (-3,3875) = 1,8815 \text{ эВ}$

$\lambda_{32} = \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{1,8815 \text{ эВ}} \approx 659 \text{ нм}$

2. Переход $2 \to 1$ (серия Лаймана):

$\Delta E_{21} = E_2 - E_1 = (-3,3875) - (-13,55) = 10,1625 \text{ эВ}$

$\lambda_{21} = \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{10,1625 \text{ эВ}} \approx 122 \text{ нм}$

3. Переход $3 \to 1$ (серия Лаймана):

$\Delta E_{31} = E_3 - E_1 = (-1,506) - (-13,55) = 12,044 \text{ эВ}$

$\lambda_{31} = \frac{1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм}}{12,044 \text{ эВ}} \approx 103 \text{ нм}$

Ответ: Длины волн соответствующих линий в спектре излучения равны приблизительно $103 \text{ нм}$, $122 \text{ нм}$ и $659 \text{ нм}$.