Номер 389, страница 74 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ - массы ртути и воды

$h$ - общая высота столба жидкости

$\rho_1$ - плотность ртути

$\rho_2$ - плотность воды

$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

$p$ - гидростатическое давление на дно сосуда

Решение:

Поскольку плотность ртути $\rho_1$ больше плотности воды $\rho_2$, ртуть будет находиться на дне сосуда, а вода — над ней. Общее гидростатическое давление $p$ на дно сосуда равно сумме давлений, создаваемых столбом ртути ($p_1$) и столбом воды ($p_2$).

$p = p_1 + p_2$

Давление каждого слоя жидкости определяется по формуле гидростатического давления:

$p_1 = \rho_1 g h_1$

$p_2 = \rho_2 g h_2$

где $h_1$ и $h_2$ — высоты столбов ртути и воды соответственно.

Таким образом, формула для общего давления выглядит так:

$p = \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2$

Общая высота столба жидкости в сосуде равна сумме высот столбов ртути и воды:

$h = h_1 + h_2$

По условию задачи, массы ртути и воды одинаковы ($m_1 = m_2 = m$). Выразим массы через плотности и объемы:

$m = \rho_1 V_1 = \rho_2 V_2$

Так как сосуд цилиндрический, его объем можно выразить как произведение площади дна $S$ на высоту столба жидкости. Тогда:

$V_1 = S h_1$

$V_2 = S h_2$

Подставим эти выражения в равенство масс:

$\rho_1 S h_1 = \rho_2 S h_2$

Сократив на $S$, получим соотношение между высотами столбов жидкостей:

$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $h_1$ и $h_2$:

$\begin{cases} h_1 + h_2 = h \\ \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $h_2 = h_1 \frac{\rho_1}{\rho_2}$ и подставим в первое уравнение:

$h_1 + h_1 \frac{\rho_1}{\rho_2} = h$

$h_1 \left( 1 + \frac{\rho_1}{\rho_2} \right) = h$

$h_1 \left( \frac{\rho_2 + \rho_1}{\rho_2} \right) = h$

Отсюда находим высоту столба ртути $h_1$:

$h_1 = h \frac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$

Аналогично находим высоту столба воды $h_2$:

$h_2 = h - h_1 = h - h \frac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2} = h \left( \frac{\rho_1 + \rho_2 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} \right) = h \frac{\rho_1}{\rho_1 + \rho_2}$

Теперь подставим полученные выражения для $h_1$ и $h_2$ в формулу для общего давления $p$:

$p = \rho_1 g \left( h \frac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2} \right) + \rho_2 g \left( h \frac{\rho_1}{\rho_1 + \rho_2} \right)$

Вынесем общие множители за скобки:

$p = \frac{g h}{\rho_1 + \rho_2} (\rho_1 \rho_2 + \rho_2 \rho_1)$

$p = \frac{g h (2 \rho_1 \rho_2)}{\rho_1 + \rho_2}$

Ответ: $p = \frac{2 g h \rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.