Номер 382, страница 73 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d_{широкого} = 2 d_{узкого}$

$S = 25 \, \text{см}^2$ (площадь узкого сосуда)

$Q = 16 \, \text{Дж}$

Плотность ртути $\rho = 13600 \, \text{кг/м}^3$ (справочное значение)

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$S = 25 \, \text{см}^2 = 25 \cdot (10^{-2} \, \text{м})^2 = 25 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0.0025 \, \text{м}^2$.

Найти:

$H$

Решение:

Выделившееся количество теплоты $Q$ равно убыли потенциальной энергии ртути при переходе из начального состояния в конечное состояние равновесия. Это следует из закона сохранения энергии, так как начальная и конечная кинетические энергии системы равны нулю.

$Q = E_{p1} - E_{p2}$

где $E_{p1}$ — начальная потенциальная энергия ртути, а $E_{p2}$ — конечная.

Обозначим площадь поперечного сечения узкого сосуда как $S_1 = S$, а широкого — как $S_2$. Поскольку площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра ($S = \pi d^2 / 4$), соотношение площадей будет:

$\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = 2^2 = 4$

Таким образом, $S_2 = 4S_1 = 4S$.

1. Начальное состояние.

Вся ртуть находится в узком сосуде, образуя столб высотой $H$. За нулевой уровень потенциальной энергии примем дно сосудов. Объем ртути $V = S_1 H$, а масса $m = \rho V = \rho S_1 H$. Центр масс столба ртути находится на высоте $h_{c1} = H/2$.

Начальная потенциальная энергия системы:

$E_{p1} = m g h_{c1} = (\rho S_1 H) g \frac{H}{2} = \frac{1}{2}\rho g S_1 H^2$

2. Конечное состояние.

После открытия крана ртуть перераспределится по двум сосудам и установится на одинаковой высоте $h_f$. Общий объем ртути при этом не изменится.

$V = S_1 h_f + S_2 h_f = (S_1 + S_2) h_f$

Приравняем выражения для объема:

$S_1 H = (S_1 + S_2) h_f = (S_1 + 4S_1) h_f = 5S_1 h_f$

Отсюда находим конечную высоту уровня ртути:

$h_f = \frac{S_1 H}{5S_1} = \frac{H}{5}$

Конечная потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий ртути в двух сосудах. Центр масс в каждом сосуде находится на высоте $h_f/2$.

$E_{p2} = \frac{1}{2}\rho g S_1 h_f^2 + \frac{1}{2}\rho g S_2 h_f^2 = \frac{1}{2}\rho g (S_1 + S_2) h_f^2$

Подставим $S_1 + S_2 = 5S_1$ и $h_f = H/5$:

$E_{p2} = \frac{1}{2}\rho g (5S_1) \left(\frac{H}{5}\right)^2 = \frac{1}{2}\rho g (5S_1) \frac{H^2}{25} = \frac{1}{10}\rho g S_1 H^2$

3. Расчет высоты H.

Теперь найдем изменение потенциальной энергии:

$Q = E_{p1} - E_{p2} = \frac{1}{2}\rho g S_1 H^2 - \frac{1}{10}\rho g S_1 H^2 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{10}\right)\rho g S_1 H^2 = \frac{4}{10}\rho g S_1 H^2 = \frac{2}{5}\rho g S_1 H^2$

Выразим из этой формулы искомую высоту $H$:

$H^2 = \frac{5Q}{2\rho g S_1}$

$H = \sqrt{\frac{5Q}{2\rho g S_1}}$

Подставим числовые значения ($S_1=S$):

$H = \sqrt{\frac{5 \cdot 16 \, \text{Дж}}{2 \cdot 13600 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.0025 \, \text{м}^2}} = \sqrt{\frac{80}{666.4}} \approx \sqrt{0.120048} \approx 0.346 \, \text{м}$

Ответ: $H \approx 0.346 \, \text{м}$ или $34.6 \, \text{см}$.