Номер 381, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Плотность тела $\rho = 0,40 \frac{г}{см^3}$
Глубина погружения $h = 6,0 \text{ см}$
Плотность воды (табличное значение) $\rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3}$

$\rho = 0,40 \frac{г}{см^3} = 0,40 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 400 \frac{кг}{м^3}$
$h = 6,0 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$
$\rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3} = 1000 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

$H$

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии. Изменение полной механической энергии тела от начала падения до момента остановки на глубине $h$ равно работе неконсервативных сил. В данной задаче единственной неконсервативной силой, совершающей работу, является выталкивающая сила Архимеда. Сопротивлением воздуха и воды пренебрегаем по условию.

Запишем закон изменения механической энергии в виде: $\Delta E = A_A$, где $\Delta E$ — изменение полной механической энергии тела, а $A_A$ — работа силы Архимеда.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность воды.Начальная энергия тела (на высоте $H$, скорость равна нулю): $E_1 = E_{п1} + E_{к1} = mgH + 0 = mgH$.Конечная энергия тела (на глубине $h$, скорость равна нулю): $E_2 = E_{п2} + E_{к2} = mg(-h) + 0 = -mgh$.

Изменение полной механической энергии тела:$\Delta E = E_2 - E_1 = -mgh - mgH = -mg(H+h)$.

Работа выталкивающей силы $F_A$ совершается на пути $h$ под водой. Сила направлена вверх, а перемещение — вниз, поэтому работа отрицательна: $A_A = -F_A \cdot h$.Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = \rho_в g V$, где $\rho_в$ — плотность воды, $V$ — объем тела.Таким образом, работа силы Архимеда: $A_A = -\rho_в g V h$.

Приравняем изменение энергии и работу:$-mg(H+h) = -\rho_в g V h$$mg(H+h) = \rho_в g V h$

Массу тела $m$ выразим через его плотность $\rho$ и объем $V$: $m = \rho V$. Подставим это в уравнение:$\rho V g(H+h) = \rho_в g V h$

Сократим обе части на $gV$:$\rho(H+h) = \rho_в h$

Выразим отсюда искомую высоту $H$:$\rho H + \rho h = \rho_в h$$\rho H = (\rho_в - \rho)h$$H = \frac{(\rho_в - \rho)h}{\rho}$

Подставим числовые значения. Удобнее использовать данные в системе СГС (г, см), так как отношение плотностей будет безразмерной величиной:$H = \frac{(1,0 \frac{г}{см^3} - 0,40 \frac{г}{см^3}) \cdot 6,0 \text{ см}}{0,40 \frac{г}{см^3}} = \frac{0,60}{0,40} \cdot 6,0 \text{ см} = 1,5 \cdot 6,0 \text{ см} = 9,0 \text{ см}$.

Ответ: тело должно падать с высоты 9,0 см.