Номер 380, страница 72 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр шарика, $d = 2,0 \text{ см}$
Начальная глубина, $h = 1,0 \text{ м}$
Плотность воды, $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность пробки, $\rho_п \approx 240 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$d = 0,02 \text{ м}$

Найти:

$h_1$ — высота подъема над поверхностью воды
$h_2$ — глубина последующего погружения
$E$ — энергия шарика на предельной глубине

Решение:

1. На какую высоту $h_1$ над поверхностью воды поднимется шарик

Поскольку по условию сопротивлением воды и воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия системы "шарик-вода-Земля" сохраняется. За нулевой уровень потенциальной энергии ($U=0$) примем поверхность воды.

Потенциальная энергия системы, когда шарик объемом $V$ полностью погружен на глубину $z$, равна работе, которую совершает равнодействующая силы Архимеда $F_A$ и силы тяжести $F_g$ при перемещении шарика на эту глубину с поверхности. $U_{под~водой}(z) = (F_A - F_g)z = (\rho_в V g - m g)z$. Так как масса шарика $m = \rho_п V$, то: $U_{под~водой}(z) = (\rho_в V g - \rho_п V g)z = (\rho_в - \rho_п)Vgz$.

Потенциальная энергия системы, когда шарик находится в воздухе на высоте $y$ над водой, равна его гравитационной потенциальной энергии: $U_{в~воздухе}(y) = mgy = \rho_п Vgy$.

В начальный момент шарик покоится на глубине $h$, его кинетическая энергия равна нулю. Полная энергия системы равна его потенциальной энергии: $E_{полн} = U_{под~водой}(h) = (\rho_в - \rho_п)Vgh$.

При достижении максимальной высоты $h_1$ над водой шарик также на мгновение останавливается, и его кинетическая энергия равна нулю. Полная энергия системы в этот момент: $E_{полн} = U_{в~воздухе}(h_1) = \rho_п Vgh_1$.

Из закона сохранения энергии $U_{под~водой}(h) = U_{в~воздухе}(h_1)$ следует: $(\rho_в - \rho_п)Vgh = \rho_п Vgh_1$. Отсюда выражаем искомую высоту $h_1$: $h_1 = \frac{\rho_в - \rho_п}{\rho_п} h = (\frac{\rho_в}{\rho_п} - 1)h$.

Подставим числовые значения: $h_1 = (\frac{1000}{240} - 1) \cdot 1,0 = \frac{760}{240} \cdot 1,0 \approx 3,17 \text{ м}$.
С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округляем результат.

Ответ: Шарик поднимется на высоту $h_1 \approx 3,2 \text{ м}$.

2. На какую глубину $h_2$ он затем погрузится

После достижения максимальной высоты $h_1$ шарик падает обратно в воду. Так как в системе отсутствуют силы сопротивления, полная энергия не теряется. Движение шарика будет представлять собой незатухающие колебания. Максимальная глубина погружения $h_2$ будет достигнута, когда кинетическая энергия шарика снова станет равной нулю.

Согласно закону сохранения энергии, если шарик останавливается на глубине $h_2$, его потенциальная энергия должна быть равна полной энергии системы: $U_{под~водой}(h_2) = E_{полн}$. $(\rho_в - \rho_п)Vgh_2 = (\rho_в - \rho_п)Vgh$.

Отсюда следует, что $h_2 = h$. Шарик вернется на ту же глубину, с которой был отпущен.

Ответ: Шарик затем погрузится на глубину $h_2 = 1,0 \text{ м}$.

3. Какой будет энергия E шарика на предельной глубине, которой он достигнет

Предельная глубина, которой достигает шарик, как мы выяснили, равна $h_2 = h = 1,0 \text{ м}$. В этой точке (нижней точке колебаний) скорость шарика равна нулю. Под "энергией E шарика" будем понимать полную механическую энергию системы, которая сохраняется в процессе колебаний. Эта энергия равна потенциальной энергии системы в крайних точках траектории.

Рассчитаем эту энергию по начальным условиям: $E = E_{полн} = (\rho_в - \rho_п)Vgh$.

Найдем объем шарика. Радиус шарика $R = d/2 = 0,02 \text{ м} / 2 = 0,01 \text{ м}$. $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (0,01 \text{ м})^3 = \frac{4\pi}{3} \times 10^{-6} \text{ м}^3$.

Теперь рассчитаем энергию $E$: $E = (1000 - 240) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (\frac{4\pi}{3} \times 10^{-6} \text{ м}^3) \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1,0 \text{ м}$. $E = 760 \cdot (\frac{4\pi}{3} \times 10^{-6}) \cdot 9,8 \approx 0,031197 \text{ Дж}$.

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

Ответ: Энергия шарика на предельной глубине составит $E \approx 0,031 \text{ Дж}$.