Номер 373, страница 71 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Объем стержня $V = 40 \text{ см}^3 = 40 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 4 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Плотность вещества левой половины $\rho_1 = 8,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 8000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Модуль силы упругости левой нити $F_1 = 1,2 \text{ Н}$

Стержень погружен в воду, плотность воды $\rho_в = 1,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Плотность вещества правой половины стержня $\rho_2$.

Решение:

Поскольку стержень находится в состоянии покоя, он находится в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на него, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения также равна нулю (правило моментов).

Стержень состоит из двух равных половин, поэтому объем каждой половины составляет:

$V_1 = V_2 = \frac{V}{2} = \frac{4 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{2} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

На стержень действуют следующие вертикальные силы:

1. Сила упругости левой нити $F_1$, направленная вверх.

2. Сила упругости правой нити $F_2$, направленная вверх.

3. Сила тяжести левой половины стержня $P_1 = m_1 g = \rho_1 V_1 g$, направленная вниз.

4. Сила тяжести правой половины стержня $P_2 = m_2 g = \rho_2 V_2 g$, направленная вниз.

5. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A = \rho_в g V$, действующая на весь объем стержня и направленная вверх.

Для нахождения неизвестной плотности $\rho_2$ удобно использовать правило моментов. Выберем ось вращения, проходящую через точку крепления правой нити. Таким образом, момент силы $F_2$ будет равен нулю, что упростит уравнение.

Пусть длина стержня равна $L$. Тогда плечи сил относительно правого конца стержня будут:

- Сила $F_1$ приложена на расстоянии $L$.

- Сила тяжести $P_1$ (центр масс левой половины) приложена на расстоянии $\frac{3L}{4}$.

- Сила тяжести $P_2$ (центр масс правой половины) приложена на расстоянии $\frac{L}{4}$.

- Сила Архимеда $F_A$ (центр объема) приложена на расстоянии $\frac{L}{2}$.

Запишем уравнение моментов, считая моменты, вращающие стержень против часовой стрелки, положительными:

$F_1 \cdot L + F_A \cdot \frac{L}{2} - P_1 \cdot \frac{3L}{4} - P_2 \cdot \frac{L}{4} = 0$

Подставим выражения для сил:

$F_1 L + (\rho_в g V) \frac{L}{2} - (\rho_1 g V_1) \frac{3L}{4} - (\rho_2 g V_2) \frac{L}{4} = 0$

Учитывая, что $V_1 = V_2 = \frac{V}{2}$:

$F_1 L + (\rho_в g V) \frac{L}{2} - (\rho_1 g \frac{V}{2}) \frac{3L}{4} - (\rho_2 g \frac{V}{2}) \frac{L}{4} = 0$

Можно сократить уравнение на $L$, так как $L \neq 0$:

$F_1 + \frac{\rho_в g V}{2} - \frac{3 \rho_1 g V}{8} - \frac{\rho_2 g V}{8} = 0$

Выразим из этого уравнения искомую плотность $\rho_2$:

$\frac{\rho_2 g V}{8} = F_1 + \frac{\rho_в g V}{2} - \frac{3 \rho_1 g V}{8}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{8}{gV}$:

$\rho_2 = \frac{8 F_1}{g V} + 4 \rho_в - 3 \rho_1$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$\rho_2 = \frac{8 \cdot 1,2}{10 \cdot 4 \cdot 10^{-5}} + 4 \cdot 1000 - 3 \cdot 8000$

$\rho_2 = \frac{9,6}{4 \cdot 10^{-4}} + 4000 - 24000$

$\rho_2 = 2,4 \cdot 10^4 + 4000 - 24000$

$\rho_2 = 24000 + 4000 - 24000 = 4000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Переведем полученное значение в г/см³ для сравнения с исходными данными:

$4000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 4,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Ответ: плотность вещества правой половины стержня равна $4000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ или $4,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$.