Номер 371, страница 71 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Часть длины палочки, погруженная в воду: $1/2$
Плотность воды: $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Плотность материала палочки $\rho$.

Решение:

Поскольку тонкая однородная палочка находится в равновесии, сумма моментов сил, действующих на нее, относительно точки подвеса (шарнира) равна нулю. На палочку действуют две силы, создающие вращающий момент: сила тяжести $F_т$ и выталкивающая сила Архимеда $F_А$. Сила реакции в шарнире момента не создает, так как ее плечо равно нулю.

Обозначим длину палочки как $L$, а площадь ее поперечного сечения как $S$.

1. Сила тяжести $F_т$ приложена к центру масс палочки, который для однородной палочки находится на расстоянии $r_т = L/2$ от точки подвеса. Величина силы тяжести: $F_т = m g = \rho V g = \rho S L g$, где $\rho$ – искомая плотность палочки, а $g$ - ускорение свободного падения.

2. Выталкивающая сила $F_А$ приложена к центру масс погруженной части палочки. По условию, в воду погружена половина палочки (длиной $L/2$). Центр этой погруженной части находится на расстоянии $r_А = L/2 + (L/2)/2 = 3L/4$ от точки подвеса. Величина выталкивающей силы: $F_А = \rho_в g V_{погр} = \rho_в g (S \frac{L}{2})$.

Для равновесия момент силы тяжести $M_т$ должен быть равен моменту силы Архимеда $M_А$. $M_т = M_А$.

Момент силы определяется как произведение модуля силы на ее плечо. Если палочка наклонена под углом $\alpha$ к вертикали, то плечо силы тяжести равно $d_т = r_т \sin\alpha = \frac{L}{2}\sin\alpha$, а плечо силы Архимеда — $d_А = r_А \sin\alpha = \frac{3L}{4}\sin\alpha$.

Запишем уравнение моментов: $F_т \cdot d_т = F_А \cdot d_А$

$(\rho S L g) \cdot (\frac{L}{2}\sin\alpha) = (\rho_в g S \frac{L}{2}) \cdot (\frac{3L}{4}\sin\alpha)$

Поскольку палочка находится в наклонном положении, $\alpha \neq 0$ и, следовательно, $\sin\alpha \neq 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на общие множители $S, L, g, \sin\alpha, L/2$: $\rho L = \rho_в \frac{3L}{4}$

Сокращая на $L$, получаем выражение для плотности палочки: $\rho = \frac{3}{4}\rho_в$

Подставим численное значение плотности воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$: $\rho = \frac{3}{4} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 750 \text{ кг/м}^3$.

Ответ: плотность материала, из которого сделана палочка, равна $750 \text{ кг/м}^3$.