Номер 368, страница 71 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Рассмотрим сначала случай с чистой льдинкой. Пусть масса льдинки равна $m_л$. Так как льдинка плавает, действующая на нее сила Архимеда $F_A$ уравновешивает ее силу тяжести $P_л = m_л g$. Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = \rho_в g V_{погр}$, где $\rho_в$ — плотность воды, а $V_{погр}$ — объем погруженной части льдинки. Из условия плавания $F_A = P_л$ следует $\rho_в g V_{погр} = m_л g$, откуда объем вытесненной воды $V_{погр} = \frac{m_л}{\rho_в}$. Когда лед растает, он превратится в воду массой $m_л$. Объем этой воды будет равен $V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$. Поскольку объем воды, получившейся из льда, в точности равен объему, который занимала подводная часть льдинки, уровень воды в стакане не изменится.

Ответ: Уровень воды в стакане не изменится.

а) свинцовая дробинка
Пусть масса льда $m_л$, а масса свинцовой дробинки $m_с$. Общая масса тела, плавающего в воде, равна $M = m_л + m_с$. По закону Архимеда для плавающих тел, объем вытесненной воды $V_{погр,1}$ определяется из условия, что вес тела равен весу вытесненной жидкости: $(m_л + m_с)g = \rho_в g V_{погр,1}$. Отсюда начальный объем вытесненной воды: $V_{погр,1} = \frac{m_л + m_с}{\rho_в} = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_с}{\rho_в}$.После таяния льда дробинка утонет и окажется на дне стакана, а лед превратится в воду. Общий объем, который будут занимать в воде растаявший лед и дробинка, будет равен сумме объема воды, получившейся изо льда ($V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$), и собственного объема дробинки ($V_с = \frac{m_с}{\rho_с}$, где $\rho_с$ — плотность свинца). Таким образом, конечный объем вытесненной воды: $V_{погр,2} = V_{воды} + V_с = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_с}{\rho_с}$.Сравним начальный и конечный объемы. Плотность свинца значительно больше плотности воды ($\rho_с > \rho_в$), поэтому $\frac{1}{\rho_с} < \frac{1}{\rho_в}$, и, следовательно, $\frac{m_с}{\rho_с} < \frac{m_с}{\rho_в}$. Это означает, что $V_{погр,2} < V_{погр,1}$. Объем вытесненной воды уменьшится, а значит, уровень воды в стакане понизится.

Ответ: Уровень воды понизится.

б) кусочек пробки
Пусть масса льда $m_л$, а масса кусочка пробки $m_п$. Общая масса плавающего тела $M = m_л + m_п$. Начальный объем вытесненной воды, по аналогии с предыдущим случаем, равен $V_{погр,1} = \frac{m_л + m_п}{\rho_в}$.После таяния льда лед превратится в воду объемом $V_{воды} = \frac{m_л}{\rho_в}$, а пробка будет плавать на поверхности воды. Так как пробка плавает, она вытесняет объем воды, вес которого равен ее собственному весу: $m_п g = \rho_в g V_{погр,п}$, откуда объем воды, вытесненный пробкой, $V_{погр,п} = \frac{m_п}{\rho_в}$.Конечный общий объем вытесненной воды будет равен сумме объема воды от растаявшего льда и объема воды, вытесненного пробкой: $V_{погр,2} = V_{воды} + V_{погр,п} = \frac{m_л}{\rho_в} + \frac{m_п}{\rho_в} = \frac{m_л + m_п}{\rho_в}$.Сравнивая начальный и конечный объемы, видим, что $V_{погр,1} = V_{погр,2}$. Объем вытесненной воды не изменится, следовательно, уровень воды в стакане останется прежним.

Ответ: Уровень воды не изменится.