Номер 367, страница 71 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_{г1} = m_{г2} = m_г$ (массы грузов одинаковы)
$m_{о1} = m_{о2} = m_о$ (массы оболочек одинаковы)
$a_1 = \frac{g}{2}$ (ускорение первого аэростата)
$v_2 = const \implies a_2 = 0$ (скорость второго аэростата постоянна)
$ρ$ (плотность газа в аэростатах)
$ρ_1$ (плотность воздуха)
$ρ = \frac{1}{2}ρ_1$
$V_1$ (объем первого аэростата)

Найти:

$V_2$ (объем второго аэростата)

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый аэростат в вертикальном направлении. На каждый аэростат действует выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вверх, и силы тяжести, направленные вниз: сила тяжести газа внутри аэростата $F_{g,газ}$, сила тяжести оболочки $F_{g,о}$ и сила тяжести груза $F_{g,г}$. Запишем второй закон Ньютона для каждого аэростата в проекции на вертикальную ось, направленную вверх.

Для первого аэростата:

Аэростат движется вверх с ускорением $a_1 = g/2$. Суммарная масса системы $M_1 = m_{газ1} + m_о + m_г$. Сила Архимеда $F_{A1} = ρ_1 V_1 g$. Сила тяжести $F_{g1} = (m_{газ1} + m_о + m_г)g = (ρV_1 + m_о + m_г)g$.

Уравнение движения имеет вид:

$F_{A1} - F_{g1} = M_1 a_1$

$ρ_1 V_1 g - (ρ V_1 + m_о + m_г)g = (ρ V_1 + m_о + m_г)a_1$

Подставим известные соотношения $ρ = ρ_1 / 2$ и $a_1 = g/2$:

$ρ_1 V_1 g - (\frac{ρ_1}{2} V_1 + m_о + m_г)g = (\frac{ρ_1}{2} V_1 + m_о + m_г)\frac{g}{2}$

Разделим обе части уравнения на $g$:

$ρ_1 V_1 - \frac{ρ_1}{2} V_1 - (m_о + m_г) = \frac{ρ_1}{4} V_1 + \frac{1}{2}(m_о + m_г)$

$\frac{1}{2}ρ_1 V_1 - (m_о + m_г) = \frac{1}{4}ρ_1 V_1 + \frac{1}{2}(m_о + m_г)$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить суммарную массу оболочки и груза $(m_о + m_г)$:

$\frac{1}{2}ρ_1 V_1 - \frac{1}{4}ρ_1 V_1 = (m_о + m_г) + \frac{1}{2}(m_о + m_г)$

$\frac{1}{4}ρ_1 V_1 = \frac{3}{2}(m_о + m_г)$

Отсюда находим:

$m_о + m_г = \frac{1}{4}ρ_1 V_1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6}ρ_1 V_1 \quad (1)$

Для второго аэростата:

Второй аэростат движется с постоянной скоростью, следовательно, его ускорение $a_2 = 0$. Это означает, что равнодействующая всех сил равна нулю.

$F_{A2} - F_{g2} = 0$

$ρ_1 V_2 g - (ρ V_2 + m_о + m_г)g = 0$

Разделим на $g$ и подставим $ρ = ρ_1 / 2$:

$ρ_1 V_2 - \frac{ρ_1}{2} V_2 - (m_о + m_г) = 0$

$\frac{1}{2}ρ_1 V_2 = m_о + m_г \quad (2)$

Нахождение $V_2$:

Так как массы оболочек и грузов у аэростатов одинаковы, мы можем приравнять выражения для $(m_о + m_г)$ из уравнений (1) и (2):

$\frac{1}{6}ρ_1 V_1 = \frac{1}{2}ρ_1 V_2$

Сокращаем на $ρ_1$ (плотность воздуха не равна нулю):

$\frac{1}{6}V_1 = \frac{1}{2}V_2$

Выразим искомый объем $V_2$:

$V_2 = \frac{2}{6}V_1 = \frac{1}{3}V_1$

Ответ: $V_2 = \frac{1}{3}V_1$.