Номер 360, страница 70 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шара $m = 2,0$ кг

Ускорение сосуда $a = 2,0 \frac{м}{с^2}$

Плотность вещества шара $\rho = 4,0 \frac{г}{см^3}$

Плотность воды $\rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3}$

Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$.

Перевод в систему СИ:

$\rho = 4,0 \frac{г}{см^3} = 4,0 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 4,0 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{кг}{м^3} = 4000 \frac{кг}{м^3}$

$\rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3} = 1,0 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1000 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

$F_д$

Решение:

Сила давления шара на дно сосуда $F_д$ по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$, действующей на шар со стороны дна сосуда. Для нахождения $N$ рассмотрим силы, действующие на шар, и применим второй закон Ньютона.

В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на шар действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$ (направлена вниз), выталкивающая сила Архимеда $F_A$ (направлена вверх) и сила нормальной реакции опоры $N$ (направлена вверх).

Поскольку сосуд с водой и шаром движется вертикально вверх с ускорением $a$, второй закон Ньютона для шара в проекции на вертикальную ось, направленную вверх, имеет вид:

$N + F_A - F_g = ma$

Выталкивающая сила, действующая на тело в жидкости, которая движется с ускорением $a$ вверх, определяется весом вытесненной жидкости в этих условиях. Эффективное ускорение равно $(g+a)$, поэтому сила Архимеда равна:

$F_A = \rho_в V (g+a)$

где $\rho_в$ — плотность воды, а $V$ — объем шара. Объем шара можно выразить через его массу $m$ и плотность $\rho$:

$V = \frac{m}{\rho}$

Подставим выражение для объема в формулу для силы Архимеда:

$F_A = \rho_в \frac{m}{\rho} (g+a)$

Теперь подставим выражения для сил $F_g$ и $F_A$ в уравнение второго закона Ньютона:

$N + \rho_в \frac{m}{\rho} (g+a) - mg = ma$

Выразим из этого уравнения силу нормальной реакции опоры $N$:

$N = ma + mg - \rho_в \frac{m}{\rho} (g+a)$

$N = m(g+a) - \frac{\rho_в}{\rho} m(g+a)$

Вынесем общий множитель $m(g+a)$ за скобки:

$N = m(g+a) \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho}\right)$

Так как $F_д = N$, то:

$F_д = m(g+a) \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho}\right)$

Подставим числовые значения:

$F_д = 2,0 \text{ кг} \cdot (10 \frac{м}{с^2} + 2,0 \frac{м}{с^2}) \cdot \left(1 - \frac{1000 \frac{кг}{м^3}}{4000 \frac{кг}{м^3}}\right)$

$F_д = 2,0 \cdot 12,0 \cdot (1 - 0,25) = 2,0 \cdot 12,0 \cdot 0,75 = 24,0 \cdot 0,75 = 18 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы давления шара на дно сосуда равен $18$ Н.