Номер 364, страница 70 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$m_1 = 70$ кг
$h = 0,10$ км = $100$ м
$\Delta t = 30$ с
$m_2 = 20$ кг
$\rho_{воз} = 1,3 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_{вод} = 0,090 \frac{кг}{м^3}$
$g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$

Найти:

$V$ - ?

Решение

Шар с человеком и корзиной должен подняться на высоту $h$ за время $\Delta t$, следовательно, он должен двигаться с некоторым ускорением $a$. Поскольку движение начинается из состояния покоя ($v_0 = 0$), оно является равноускоренным. Связь между высотой подъема, временем и ускорением дается формулой:

$h = \frac{a (\Delta t)^2}{2}$

Отсюда можем выразить ускорение:

$a = \frac{2h}{(\Delta t)^2}$

Подставим числовые значения, чтобы найти ускорение:

$a = \frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{(30 \text{ с})^2} = \frac{200}{900} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{2}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0,222 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь рассмотрим силы, действующие на систему "шар + водород + человек + корзина". Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил равна произведению массы системы на ее ускорение.

На систему действуют:

1. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Она равна весу вытесненного воздуха: $F_A = \rho_{воз} V g$.
2. Сила тяжести, направленная вниз. Она складывается из веса человека ($m_1 g$), веса оболочки и корзины ($m_2 g$) и веса водорода внутри шара ($m_{вод} g$). Масса водорода $m_{вод} = \rho_{вод} V$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_A - (m_1 g + m_2 g + m_{вод} g) = (m_1 + m_2 + m_{вод}) a$

Подставим выражения для $F_A$ и $m_{вод}$:

$\rho_{воз} V g - (m_1 + m_2) g - \rho_{вод} V g = (m_1 + m_2 + \rho_{вод} V) a$

Наша цель — найти объем $V$. Сгруппируем все слагаемые с $V$ в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$\rho_{воз} V g - \rho_{вод} V g - \rho_{вод} V a = (m_1 + m_2) g + (m_1 + m_2) a$

Вынесем $V$ за скобки в левой части и общий множитель $(m_1 + m_2)$ в правой:

$V(g(\rho_{воз} - \rho_{вод}) - \rho_{вод}a) = (m_1 + m_2)(g + a)$

Отсюда выражаем минимальный объем шара $V$:

$V = \frac{(m_1 + m_2)(g + a)}{g(\rho_{воз} - \rho_{вод}) - \rho_{вод}a}$

Подставим числовые значения:

$V = \frac{(70 + 20)(9,8 + \frac{2}{9})}{9,8(1,3 - 0,090) - 0,090 \cdot \frac{2}{9}}$

$V = \frac{90 \cdot (9,8 + \frac{2}{9})}{9,8 \cdot 1,21 - 0,02} = \frac{90 \cdot (\frac{88,2+2}{9})}{11,858 - 0,02} = \frac{10 \cdot 90,2}{11,838} = \frac{902}{11,838} \approx 76,195 \text{ м}^3$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в условии задачи, получаем:

Ответ:

$V \approx 76 \text{ м}^3$