Номер 361, страница 70 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 2,3 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$m = 3,0 \text{ кг}$

$\rho = 5,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Цистерна заполнена водой, плотность воды $\rho_{\text{в}} = 1,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$\rho = 5,0 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 5,0 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 5,0 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 5000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$F_{\text{упр}}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на шар в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. Шар движется вместе с цистерной с горизонтальным ускорением $a$. На шар действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{\text{упр}}$, направленная вдоль нити, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $\vec{F}_A$ со стороны воды.

В ускоренно движущейся жидкости выталкивающая сила обусловлена градиентом давления, который имеет как вертикальную, так и горизонтальную составляющие. Вектор выталкивающей силы равен $\vec{F}_A = -m_{\text{в}}(\vec{g} - \vec{a})$, где $m_{\text{в}}$ - масса вытесненной воды. Разложим эту силу на компоненты: вертикальная составляющая $F_{A,y} = m_{\text{в}}g$ направлена вверх, а горизонтальная $F_{A,x} = m_{\text{в}}a$ направлена в сторону ускорения $a$.

Запишем второй закон Ньютона для шара в проекциях на горизонтальную ось X (направленную в сторону ускорения) и вертикальную ось Y (направленную вверх). Пусть нить в установившемся положении составляет угол $\alpha$ с вертикалью.

Проекция на ось X:

$F_{\text{упр}} \sin\alpha + F_{A,x} = ma$

$F_{\text{упр}} \sin\alpha + m_{\text{в}}a = ma$

$F_{\text{упр}} \sin\alpha = (m - m_{\text{в}})a$ (1)

Проекция на ось Y (вертикальное ускорение равно нулю):

$F_{\text{упр}} \cos\alpha + F_{A,y} - F_g = 0$

$F_{\text{упр}} \cos\alpha + m_{\text{в}}g - mg = 0$

$F_{\text{упр}} \cos\alpha = (m - m_{\text{в}})g$ (2)

Для нахождения модуля силы упругости $F_{\text{упр}}$ возведем уравнения (1) и (2) в квадрат и сложим их:

$(F_{\text{упр}} \sin\alpha)^2 + (F_{\text{упр}} \cos\alpha)^2 = ((m - m_{\text{в}})a)^2 + ((m - m_{\text{в}})g)^2$

$F_{\text{упр}}^2 (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = (m - m_{\text{в}})^2 (a^2 + g^2)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$F_{\text{упр}}^2 = (m - m_{\text{в}})^2 (a^2 + g^2)$

$F_{\text{упр}} = (m - m_{\text{в}}) \sqrt{a^2 + g^2}$

Найдем массу вытесненной воды $m_{\text{в}}$. Объем шара равен $V = \frac{m}{\rho}$. Тогда масса вытесненной воды $m_{\text{в}} = \rho_{\text{в}}V = \rho_{\text{в}}\frac{m}{\rho}$.

$m_{\text{в}} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{3,0 \text{ кг}}{5000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0,6 \text{ кг}$

Подставим числовые значения в формулу для силы упругости:

$F_{\text{упр}} = (3,0 \text{ кг} - 0,6 \text{ кг}) \sqrt{(2,3 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2 + (9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2}$

$F_{\text{упр}} = 2,4 \text{ кг} \cdot \sqrt{5,29 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^4} + 96,04 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^4}} = 2,4 \text{ кг} \cdot \sqrt{101,33 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^4}}$

$F_{\text{упр}} \approx 2,4 \cdot 10,07 \text{ Н} \approx 24,16 \text{ Н}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$F_{\text{упр}} \approx 24 \text{ Н}$

Ответ: $F_{\text{упр}} \approx 24 \text{ Н}$.