Номер 355, страница 69 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Объем алюминиевого бруска $V_{ал} = 0,10 \text{ м}^3$
Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность льда $\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3$
Плотность алюминия $\rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3$

Найти:
$V_л$ - ?

Решение:
Льдина с примерзшим к ней алюминиевым бруском утонет, если ее средняя плотность станет больше плотности воды. Наибольший объем льдины соответствует предельному случаю, когда система (льдина + брусок) полностью погружена в воду и находится в состоянии безразличного равновесия (плавает в толще воды). В этом случае сила тяжести, действующая на систему, равна выталкивающей силе (силе Архимеда), действующей на систему.
Сила тяжести, действующая на систему, равна сумме сил тяжести льдины и бруска:
$P_{общ} = P_л + P_{ал} = m_л g + m_{ал} g = (\rho_л V_л + \rho_{ал} V_{ал}) g$
где $g$ – ускорение свободного падения.
Выталкивающая сила, действующая на полностью погруженную в воду систему, равна:
$F_A = \rho_в g V_{общ} = \rho_в g (V_л + V_{ал})$
где $V_{общ}$ – общий объем системы.
Приравняем силу тяжести и выталкивающую силу, согласно условию равновесия:
$P_{общ} = F_A$
$(\rho_л V_л + \rho_{ал} V_{ал}) g = \rho_в g (V_л + V_{ал})$
Сократим $g$:
$\rho_л V_л + \rho_{ал} V_{ал} = \rho_в V_л + \rho_в V_{ал}$
Сгруппируем слагаемые, содержащие искомый объем $V_л$, в одной части уравнения, а остальные – в другой:
$\rho_{ал} V_{ал} - \rho_в V_{ал} = \rho_в V_л - \rho_л V_л$
Вынесем общие множители за скобки:
$V_{ал} (\rho_{ал} - \rho_в) = V_л (\rho_в - \rho_л)$
Выразим отсюда искомый объем льдины $V_л$:
$V_л = V_{ал} \frac{\rho_{ал} - \rho_в}{\rho_в - \rho_л}$
Подставим числовые значения:
$V_л = 0,10 \text{ м}^3 \cdot \frac{2700 \text{ кг/м}^3 - 1000 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3 - 900 \text{ кг/м}^3} = 0,10 \cdot \frac{1700}{100} = 0,10 \cdot 17 = 1,7 \text{ м}^3$

Ответ: наибольший объем льдины равен $1,7 \text{ м}^3$.