Номер 348, страница 68 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Для решения задачи используем табличные значения плотностей веществ в системе СИ:

Плотность железа, $\rho_ж = 7800 \text{ кг/м}^3$

Плотность ртути, $\rho_р = 13600 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$\frac{\Delta V}{V} \cdot 100\%$ - ?

Решение:

1. Рассмотрим первый случай, когда железный шар плавает только в ртути. Условие плавания тела означает, что сила тяжести, действующая на шар, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда) со стороны ртути.

Сила тяжести: $F_т = m_ш g = \rho_ж V g$, где $V$ - общий объем шара, $\rho_ж$ - плотность железа, $g$ - ускорение свободного падения.

Сила Архимеда со стороны ртути: $F_{А1} = \rho_р g V_{погр1}$, где $V_{погр1}$ - объем погруженной в ртуть части шара, $\rho_р$ - плотность ртути.

Из условия равновесия $F_т = F_{А1}$:

$\rho_ж V g = \rho_р g V_{погр1}$

Отсюда находим начальный объем погруженной части:

$V_{погр1} = V \frac{\rho_ж}{\rho_р}$ (1)

2. Рассмотрим второй случай, когда поверх ртути налит слой воды, полностью покрывающий шар. Теперь на шар действуют сила тяжести и две выталкивающие силы: со стороны ртути и со стороны воды.

Пусть $V_{погр2}$ - новый объем части шара, погруженной в ртуть. Так как шар полностью покрыт водой, объем его части, находящейся в воде, равен $V_в = V - V_{погр2}$.

Сила Архимеда со стороны ртути: $F_{А2} = \rho_р g V_{погр2}$

Сила Архимеда со стороны воды: $F_{А_в} = \rho_в g V_в = \rho_в g (V - V_{погр2})$, где $\rho_в$ - плотность воды.

Условие равновесия теперь имеет вид: $F_т = F_{А2} + F_{А_в}$.

$\rho_ж V g = \rho_р g V_{погр2} + \rho_в g (V - V_{погр2})$

Сократим обе части уравнения на $g$:

$\rho_ж V = \rho_р V_{погр2} + \rho_в V - \rho_в V_{погр2}$

Сгруппируем члены, чтобы выразить $V_{погр2}$:

$V(\rho_ж - \rho_в) = V_{погр2}(\rho_р - \rho_в)$

$V_{погр2} = V \frac{\rho_ж - \rho_в}{\rho_р - \rho_в}$ (2)

3. Найдем изменение объема погруженной в ртуть части шара $\Delta V = V_{погр1} - V_{погр2}$ и его отношение к общему объему шара $\frac{\Delta V}{V}$.

$\Delta V = V \frac{\rho_ж}{\rho_р} - V \frac{\rho_ж - \rho_в}{\rho_р - \rho_в}$

$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\rho_ж}{\rho_р} - \frac{\rho_ж - \rho_в}{\rho_р - \rho_в}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\rho_ж(\rho_р - \rho_в) - \rho_р(\rho_ж - \rho_в)}{\rho_р(\rho_р - \rho_в)} = \frac{\rho_ж\rho_р - \rho_ж\rho_в - \rho_р\rho_ж + \rho_р\rho_в}{\rho_р(\rho_р - \rho_в)}$

После сокращения подобных членов в числителе ($\rho_ж\rho_р$ и $-\rho_р\rho_ж$) получаем:

$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\rho_р\rho_в - \rho_ж\rho_в}{\rho_р(\rho_р - \rho_в)} = \frac{\rho_в(\rho_р - \rho_ж)}{\rho_р(\rho_р - \rho_в)}$

4. Подставим численные значения:

$\frac{\Delta V}{V} = \frac{1000 \cdot (13600 - 7800)}{13600 \cdot (13600 - 1000)} = \frac{1000 \cdot 5800}{13600 \cdot 12600} = \frac{5800000}{171360000} \approx 0.03385$

5. Переведем полученное значение в проценты, умножив на 100%:

$0.03385 \cdot 100\% \approx 3.4\%$

Ответ: объем погруженной в ртуть части шара уменьшится на 3.4% от его общего объема.