Номер 342, страница 67 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_1 = 20$ см

$h_2 = 30$ см

$\rho_3 = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$

$h_1 = 0.2$ м

$h_2 = 0.3$ м

Найти:

$h_3$ - ?

Решение:

Когда тело плавает в жидкости, его вес уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда). Это условие можно записать как $F_g = F_A$.

Пусть $m$ — масса куба, $S$ — площадь его основания. Вес куба постоянен и равен $F_g = mg$.

Сила Архимеда определяется по формуле $F_A = \rho_{ж} g V_{погр}$, где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, а $V_{погр}$ — объём погружённой части тела. Для куба $V_{погр} = S \cdot h$, где $h$ — глубина погружения.

Рассмотрим каждый из трёх случаев:

1. В первой жидкости с плотностью $\rho_1$ куб погрузился на глубину $h_1$.

Условие плавания: $mg = \rho_1 g S h_1$. (1)

2. Во второй жидкости с плотностью $\rho_2$ куб погрузился на глубину $h_2$.

Условие плавания: $mg = \rho_2 g S h_2$. (2)

3. В третьей жидкости с плотностью $\rho_3$ куб погрузится на искомую глубину $h_3$.

Условие плавания: $mg = \rho_3 g S h_3$. (3)

По условию задачи, плотность третьей жидкости является средним арифметическим плотностей первых двух:

$\rho_3 = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$.

Из уравнений (1) и (2) выразим плотности $\rho_1$ и $\rho_2$:

$\rho_1 = \frac{mg}{gSh_1} = \frac{m}{Sh_1}$

$\rho_2 = \frac{mg}{gSh_2} = \frac{m}{Sh_2}$

Подставим эти выражения в формулу для $\rho_3$:

$\rho_3 = \frac{1}{2} \left( \frac{m}{Sh_1} + \frac{m}{Sh_2} \right) = \frac{m}{2S} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} \right)$

Из уравнения (3) также выразим плотность $\rho_3$:

$\rho_3 = \frac{m}{Sh_3}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $\rho_3$:

$\frac{m}{Sh_3} = \frac{m}{2S} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} \right)$

Сократим одинаковый множитель $\frac{m}{S}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{h_3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} \right)$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{h_3} = \frac{1}{2} \left( \frac{h_2 + h_1}{h_1 h_2} \right) = \frac{h_1 + h_2}{2h_1 h_2}$

Отсюда найдём искомую глубину $h_3$:

$h_3 = \frac{2h_1 h_2}{h_1 + h_2}$

Подставим числовые значения. Расчёты можно вести в сантиметрах, так как единицы измерения в итоговой формуле сокращаются.

$h_3 = \frac{2 \cdot 20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Ответ: куб погрузится на глубину $h_3 = 24$ см.