Номер 347, страница 68 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ \rho_{рт} $ - плотность ртути

$ \rho_{в} $ - плотность воды

Шар плавает на границе раздела, центр шара находится на уровне поверхности раздела жидкостей.

Найти:

$ \rho $ - плотность вещества, из которого изготовлен шар.

Решение:

Так как шар плавает, он находится в состоянии равновесия. Это означает, что действующая на него сила тяжести $ F_g $ уравновешена суммой выталкивающих (архимедовых) сил со стороны обеих жидкостей: воды ($ F_{А,в} $) и ртути ($ F_{А,рт} $).

Запишем условие равновесия:

$ F_g = F_{А,в} + F_{А,рт} $

Сила тяжести, действующая на шар, определяется его плотностью $ \rho $ и объемом $ V $:

$ F_g = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g $

где $ g $ — ускорение свободного падения.

Согласно условию, центр шара находится на уровне поверхности раздела жидкостей. Это значит, что ровно половина объема шара ($ V/2 $) погружена в воду (верхняя часть), а другая половина ($ V/2 $) — в ртуть (нижняя часть).

Выталкивающая сила со стороны воды действует на объем $ V_в = V/2 $:

$ F_{А,в} = \rho_в \cdot g \cdot V_в = \rho_в \cdot g \cdot \frac{V}{2} $

Выталкивающая сила со стороны ртути действует на объем $ V_{рт} = V/2 $:

$ F_{А,рт} = \rho_{рт} \cdot g \cdot V_{рт} = \rho_{рт} \cdot g \cdot \frac{V}{2} $

Теперь подставим выражения для всех сил в уравнение равновесия:

$ \rho \cdot V \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot \frac{V}{2} + \rho_{рт} \cdot g \cdot \frac{V}{2} $

Можно сократить обе части уравнения на общий множитель $ V \cdot g $ (поскольку объем шара и ускорение свободного падения не равны нулю):

$ \rho = \frac{\rho_в}{2} + \frac{\rho_{рт}}{2} $

Объединив дроби, получаем окончательное выражение для плотности шара:

$ \rho = \frac{\rho_в + \rho_{рт}}{2} $

Плотность вещества, из которого изготовлен шар, равна среднему арифметическому плотностей воды и ртути.

Ответ: $ \rho = \frac{\rho_{рт} + \rho_{в}}{2} $.