Номер 354, страница 69 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса пробки, $m_1 = 1,0$ кг

Плотность пробки, $\rho = 0,20 \frac{г}{см^3}$

Плотность воды (справочное значение), $\rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3}$

Плотность свинца (справочное значение), $\rho_с = 11,3 \frac{г}{см^3}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$

$m_1 = 1,0$ кг
$\rho = 0,20 \frac{г}{см^3} = 0,20 \cdot \frac{10^{-3} кг}{(10^{-2} м)^3} = 0,20 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{кг}{м^3} = 200 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_в = 1,0 \frac{г}{см^3} = 1000 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_с = 11,3 \frac{г}{см^3} = 11300 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

Минимальная масса свинцового груза, $m$ - ?

Модуль силы упругости нити, $F_{упр}$ - ?

Решение:

1. Нахождение минимальной массы груза $m$

Система, состоящая из пробки и свинцового груза, будет полностью погружена в воду при условии, что суммарная сила тяжести, действующая на систему, равна суммарной выталкивающей силе (силе Архимеда). Это условие соответствует состоянию безразличного равновесия (нейтральной плавучести).

Запишем условие равновесия для системы «пробка + груз»:

$F_{А, общ} = P_{общ}$

где $F_{А, общ}$ – общая выталкивающая сила, а $P_{общ}$ – общая сила тяжести.

Общая сила тяжести равна сумме сил тяжести пробки и груза:

$P_{общ} = P_1 + P = m_1 g + m g = (m_1 + m)g$

Общая выталкивающая сила равна сумме выталкивающих сил, действующих на пробку и на груз:

$F_{А, общ} = F_{А1} + F_A = \rho_в V_1 g + \rho_в V g = \rho_в (V_1 + V)g$

где $V_1$ – объем пробки, а $V$ – объем груза. Объемы можно выразить через массу и плотность:

$V_1 = \frac{m_1}{\rho}$, $V = \frac{m}{\rho_с}$

Приравняем силы тяжести и выталкивающие силы, сократив на $g$:

$m_1 + m = \rho_в (V_1 + V)$

$m_1 + m = \rho_в (\frac{m_1}{\rho} + \frac{m}{\rho_с})$

Теперь решим это уравнение относительно искомой массы $m$:

$m_1 + m = \frac{\rho_в m_1}{\rho} + \frac{\rho_в m}{\rho_с}$

$m - \frac{\rho_в m}{\rho_с} = \frac{\rho_в m_1}{\rho} - m_1$

$m(1 - \frac{\rho_в}{\rho_с}) = m_1(\frac{\rho_в}{\rho} - 1)$

$m = m_1 \frac{\frac{\rho_в}{\rho} - 1}{1 - \frac{\rho_в}{\rho_с}}$

Подставим числовые значения:

$m = 1,0 \cdot \frac{\frac{1000}{200} - 1}{1 - \frac{1000}{11300}} = 1,0 \cdot \frac{5 - 1}{1 - \frac{100}{1130}} = \frac{4}{1 - 0,0885} = \frac{4}{0,9115} \approx 4,388$ кг

С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округляем результат:

$m \approx 4,4$ кг

Ответ: $m \approx 4,4$ кг

2. Определение модуля силы упругости нити $F_{упр}$

Силу упругости (натяжения) нити можно найти, рассмотрев условие равновесия для одного из тел, например, для пробки. На пробку действуют три силы:

• вверх – выталкивающая сила $F_{А1}$;
• вниз – сила тяжести $P_1 = m_1 g$;
• вниз – сила натяжения нити $F_{упр}$.

Условие равновесия для пробки:

$F_{А1} = P_1 + F_{упр}$

Отсюда выразим $F_{упр}$:

$F_{упр} = F_{А1} - P_1 = \rho_в V_1 g - m_1 g = \rho_в \frac{m_1}{\rho} g - m_1 g = m_1 g (\frac{\rho_в}{\rho} - 1)$

Подставим числовые значения:

$F_{упр} = 1,0 \cdot 9,8 \cdot (\frac{1000}{200} - 1) = 9,8 \cdot (5 - 1) = 9,8 \cdot 4 = 39,2$ Н

С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр:

$F_{упр} \approx 39$ Н

Ответ: $F_{упр} \approx 39$ Н