Номер 349, страница 68 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Определите массу m кубика.

Дано:
Длина ребра кубика, $a = 10 \text{ см}$
Высота слоя керосина, $h = 5,0 \text{ см}$
Линия раздела жидкостей проходит посередине высоты кубика.
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Плотность керосина, $\rho_к = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Перевод в СИ:
$a = 0,1 \text{ м}$
$h = 0,05 \text{ м}$

Найти:
Массу кубика, $m$ - ?

Решение:
Поскольку кубик находится в равновесии, действующая на него сила тяжести $F_т$ уравновешена суммой выталкивающих сил (сил Архимеда) со стороны воды $F_{А,в}$ и керосина $F_{А,к}$.
Условие равновесия: $F_т = F_{А,в} + F_{А,к}$.
Сила тяжести равна $F_т = mg$, где $m$ - масса кубика, а $g$ - ускорение свободного падения.
Сила Архимеда со стороны воды: $F_{А,в} = \rho_в g V_в$.
Сила Архимеда со стороны керосина: $F_{А,к} = \rho_к g V_к$.
По условию, линия раздела жидкостей проходит посередине высоты кубика. Это означает, что в воду и в керосин погружены равные части кубика, объемы которых составляют половину от общего объема кубика.
Объем части кубика в воде: $V_в = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.
Объем части кубика в керосине: $V_к = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.
Подставим все выражения в условие равновесия:
$mg = \rho_в g \frac{a^3}{2} + \rho_к g \frac{a^3}{2}$
Сократим обе части уравнения на $g$:
$m = (\rho_в + \rho_к) \frac{a^3}{2}$
Теперь подставим числовые значения в системе СИ:
$m = (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} + 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot \frac{(0,1 \text{ м})^3}{2} = 1800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{0,001 \text{ м}^3}{2} = 1800 \cdot 0,0005 \text{ кг} = 0,9 \text{ кг}$.

Ответ: масса кубика $m = 0,9$ кг.

Что произойдет с кубиком, если слить слой керосина с поверхности воды?

Решение:
После удаления слоя керосина кубик будет находиться только в воде. Чтобы определить его поведение, найдем среднюю плотность кубика $\rho_{куба}$ и сравним ее с плотностью воды $\rho_в$.
Объем кубика: $V = a^3 = (0,1 \text{ м})^3 = 0,001 \text{ м}^3$.
Средняя плотность кубика:
$\rho_{куба} = \frac{m}{V} = \frac{0,9 \text{ кг}}{0,001 \text{ м}^3} = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Сравним плотности: $\rho_{куба} = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} < \rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Поскольку плотность кубика меньше плотности воды, кубик будет плавать на поверхности воды.
Определим новую глубину погружения кубика $h'$. В состоянии равновесия сила тяжести кубика будет уравновешена силой Архимеда, действующей со стороны воды.
$F_т = F'_{А,в}$
$mg = \rho_в g V'_{погр}$, где $V'_{погр}$ - новый объем погруженной части кубика.
$V'_{погр} = a^2 h'$.
Подставим в уравнение равновесия и сократим $g$:
$m = \rho_в \cdot a^2 h' $
Выразим глубину погружения $h'$:
$h' = \frac{m}{\rho_в a^2} = \frac{0,9 \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (0,1 \text{ м})^2} = \frac{0,9}{1000 \cdot 0,01} \text{ м} = \frac{0,9}{10} \text{ м} = 0,09 \text{ м} = 9 \text{ см}$.
Изначально в воде была погружена часть кубика высотой $\frac{a}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$. Новая глубина погружения ($9$ см) больше первоначальной. Следовательно, кубик опустится глубже в воду.

Ответ: если слить керосин, кубик не утонет, а будет плавать в воде, погрузившись на глубину $9$ см. Это значит, что он опустится глубже в воду по сравнению со своим первоначальным положением.