Номер 352, страница 69 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Наружный объем полого цинкового шара, $V = 200 \text{ см}^3$

Плотность воды, $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность цинка, $\rho_{ц} = 7100 \text{ кг/м}^3$

Объем погруженной части шара, $V_{погр} = V/2$

$V = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

Объем полости шара, $V_1$

Решение:

Поскольку шар плавает в воде, сила тяжести $F_т$, действующая на него, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_А$.

$F_А = F_т$

Выталкивающая сила равна весу вытесненной воды:

$F_А = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр}$

По условию задачи шар погружен наполовину, следовательно, объем погруженной части $V_{погр} = \frac{V}{2}$.

$F_А = \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{V}{2}$

Сила тяжести, действующая на шар, равна его массе $m$ умноженной на ускорение свободного падения $g$:

$F_т = m \cdot g$

Масса полого шара равна произведению плотности цинка $\rho_{ц}$ на объем цинка $V_{ц}$. Объем цинка — это разность между наружным объемом шара $V$ и объемом внутренней полости $V_1$:

$V_{ц} = V - V_1$

$m = \rho_{ц} \cdot V_{ц} = \rho_{ц} \cdot (V - V_1)$

Таким образом, сила тяжести:

$F_т = \rho_{ц} \cdot (V - V_1) \cdot g$

Приравниваем выражения для силы Архимеда и силы тяжести:

$\rho_{в} \cdot g \cdot \frac{V}{2} = \rho_{ц} \cdot (V - V_1) \cdot g$

Сокращаем $g$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{в} \cdot \frac{V}{2} = \rho_{ц} \cdot (V - V_1)$

Выразим из этого уравнения объем полости $V_1$:

$V - V_1 = \frac{\rho_{в} \cdot V}{2 \cdot \rho_{ц}}$

$V_1 = V - \frac{\rho_{в} \cdot V}{2 \cdot \rho_{ц}} = V \cdot \left(1 - \frac{\rho_{в}}{2 \cdot \rho_{ц}}\right)$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$V_1 = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \left(1 - \frac{1000}{2 \cdot 7100}\right) = 2 \cdot 10^{-4} \cdot \left(1 - \frac{1000}{14200}\right) \approx 2 \cdot 10^{-4} \cdot (1 - 0.0704) = 2 \cdot 10^{-4} \cdot 0.9296 \approx 1.8592 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Переведем результат обратно в см³:

$V_1 = 1.8592 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 1.8592 \cdot 10^{-4} \cdot 10^6 \text{ см}^3 = 185.92 \text{ см}^3$

Округляя, получаем:

$V_1 \approx 186 \text{ см}^3$

Ответ: $186 \text{ см}^3$.