Номер 358, страница 69 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ \rho_д = 800 \frac{кг}{м^3} $

$ h = 1,25 \ м $

$ v_0 = 0 \frac{м}{с} $

Плотность воды $ \rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3} $.

Ускорение свободного падения примем равным $ g \approx 10 \frac{м}{с^2} $.

Сила сопротивления воды пренебрежимо мала.

Найти:

$ v $ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии, а точнее теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело.

$ \Delta E_к = A_{общ} $

Изменение кинетической энергии: $ \Delta E_к = E_{к2} - E_{к1} = \frac{m v^2}{2} - \frac{m v_0^2}{2} $. Так как шарик начинает всплывать без начальной скорости ($ v_0 = 0 $), то $ \Delta E_к = \frac{m v^2}{2} $.

На шарик в воде действуют две силы: сила тяжести $ F_т $, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $ F_А $, направленная вверх. Силой сопротивления пренебрегаем по условию.

Работа силы тяжести при подъеме шарика на высоту $h$ отрицательна: $ A_т = -F_т h = -mgh $. Массу шарика $m$ выразим через его плотность $ \rho_д $ и объем $V$: $ m = \rho_д V $. Тогда $ A_т = -\rho_д V g h $.

Работа выталкивающей силы положительна, так как ее направление совпадает с направлением перемещения: $ A_А = F_А h $. Величина выталкивающей силы равна весу вытесненной воды: $ F_А = \rho_в g V $. Тогда $ A_А = \rho_в V g h $.

Суммарная работа всех сил: $ A_{общ} = A_А + A_т = \rho_в V g h - \rho_д V g h = (\rho_в - \rho_д) V g h $.

Приравняем изменение кинетической энергии и суммарную работу:

$ \frac{m v^2}{2} = (\rho_в - \rho_д) V g h $

Подставим выражение для массы $ m = \rho_д V $:

$ \frac{\rho_д V v^2}{2} = (\rho_в - \rho_д) V g h $

Сократим объем $V$ в обеих частях уравнения:

$ \frac{\rho_д v^2}{2} = (\rho_в - \rho_д) g h $

Выразим квадрат скорости $ v^2 $:

$ v^2 = \frac{2 (\rho_в - \rho_д) g h}{\rho_д} $

Отсюда находим модуль скорости $v$:

$ v = \sqrt{\frac{2 (\rho_в - \rho_д) g h}{\rho_д}} $

Подставим числовые значения:

$ v = \sqrt{\frac{2 \cdot (1000 \frac{кг}{м^3} - 800 \frac{кг}{м^3}) \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 1,25 \ м}{800 \frac{кг}{м^3}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 200 \cdot 10 \cdot 1,25}{800}} \frac{м}{с} $

$ v = \sqrt{\frac{400 \cdot 12,5}{800}} \frac{м}{с} = \sqrt{\frac{12,5}{2}} \frac{м}{с} = \sqrt{6,25} \frac{м}{с} = 2,5 \frac{м}{с} $

Ответ: модуль скорости шарика у поверхности воды равен $ 2,5 \frac{м}{с} $.