Номер 353, страница 69 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Объем каждого шарика: $V = 11 \text{ см}^3$
Отношение масс шариков: $m_1 : m_2 = 1 : 10$
Плотность воды: $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения: $g = 10 \text{ Н/кг}$

$V = 11 \text{ см}^3 = 11 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 11 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$F_{упр}$

Решение:

Обозначим массу легкого шарика как $m_1$, а тяжелого — как $m_2$. По условию $m_2 = 10m_1$. Система из двух шариков находится в равновесии, следовательно, суммарная сила тяжести уравновешена суммарной выталкивающей силой Архимеда, действующей на систему:

$(m_1 + m_2)g = F_{A1} + F_{A2}$

где $F_{A1}$ и $F_{A2}$ — силы Архимеда, действующие на легкий и тяжелый шарики соответственно. Легкий шарик погружен на половину своего объема $V/2$, а тяжелый — полностью (объем $V$).

$F_{A1} = \rho_в g \frac{V}{2}$

$F_{A2} = \rho_в g V$

Подставим эти выражения в уравнение равновесия:

$(m_1 + m_2)g = \rho_в g \frac{V}{2} + \rho_в g V$

Сократив $g$, найдем суммарную массу шариков:

$m_1 + m_2 = \rho_в (\frac{V}{2} + V) = 1.5 \rho_в V$

Используя соотношение масс $m_2 = 10m_1$, получаем систему уравнений:

$m_1 + 10m_1 = 1.5 \rho_в V \implies 11m_1 = 1.5 \rho_в V$

Отсюда находим массу легкого шарика:

$m_1 = \frac{1.5 \rho_в V}{11} = \frac{1.5 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 11 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{11} = 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Для нахождения силы упругости нити $F_{упр}$ рассмотрим условие равновесия для одного из шариков. Например, для легкого шарика. На него действуют сила тяжести $F_{g1} = m_1g$ (вниз), сила натяжения нити $F_{упр}$ (вниз) и выталкивающая сила $F_{A1}$ (вверх). В равновесии:

$F_{A1} = F_{g1} + F_{упр}$

Выразим искомую силу:

$F_{упр} = F_{A1} - F_{g1} = \rho_в g \frac{V}{2} - m_1 g = g(\rho_в \frac{V}{2} - m_1)$

Подставим числовые значения:

$F_{упр} = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{11 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}{2} - 1.5 \cdot 10^{-3} \text{ кг})$

$F_{упр} = 10 \cdot (5.5 \cdot 10^{-3} - 1.5 \cdot 10^{-3}) \text{ Н} = 10 \cdot (4 \cdot 10^{-3}) \text{ Н} = 0.04 \text{ Н}$

Ответ: $0.04 \text{ Н}$.