Номер 344, страница 68 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h_{рт} = \frac{1}{4}H$ - часть высоты бруска, погруженная в ртуть
$h_{в} = \frac{1}{2}H$ - часть высоты бруска, погруженная в воду
$ρ_{в} = 1000 \frac{кг}{м^3}$ - плотность воды (справочное значение)
$ρ_{рт} = 13600 \frac{кг}{м^3}$ - плотность ртути (справочное значение)

Все данные в системе СИ.

Найти:

$ρ$ - плотность металла

Решение:

Поскольку металлический брусок плавает, он находится в равновесии. Это означает, что сила тяжести, действующая на брусок, уравновешена суммой выталкивающих сил (сил Архимеда), действующих на него со стороны ртути и воды.

Условие равновесия бруска можно записать в виде:

$F_{Т} = F_{А,рт} + F_{А,в}$

где $F_{Т}$ - сила тяжести, $F_{А,рт}$ - выталкивающая сила со стороны ртути, $F_{А,в}$ - выталкивающая сила со стороны воды.

Сила тяжести, действующая на брусок, определяется по формуле $F_{Т} = mg = ρVg$, где $ρ$ - искомая плотность металла, $V$ - полный объем бруска, а $g$ - ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила со стороны ртути: $F_{А,рт} = ρ_{рт}gV_{рт}$, где $ρ_{рт}$ - плотность ртути, а $V_{рт}$ - объем части бруска, погруженной в ртуть.

Выталкивающая сила со стороны воды: $F_{А,в} = ρ_{в}gV_{в}$, где $ρ_{в}$ - плотность воды, а $V_{в}$ - объем части бруска, погруженной в воду.

Выразим объемы погруженных частей через полный объем бруска $V$. Пусть $H$ - полная высота бруска, а $S$ - площадь его основания. Тогда полный объем бруска $V = SH$.

Объем, погруженный в ртуть: $V_{рт} = S \cdot h_{рт} = S \cdot \frac{1}{4}H = \frac{1}{4}V$.

Объем, погруженный в воду: $V_{в} = S \cdot h_{в} = S \cdot \frac{1}{2}H = \frac{1}{2}V$.

Подставим все выражения в уравнение равновесия:

$ρVg = ρ_{рт}g(\frac{1}{4}V) + ρ_{в}g(\frac{1}{2}V)$

Сократим обе части уравнения на $Vg$ (так как объем и ускорение свободного падения не равны нулю):

$ρ = \frac{1}{4}ρ_{рт} + \frac{1}{2}ρ_{в}$

Теперь подставим числовые значения плотностей ртути и воды:

$ρ = \frac{1}{4} \cdot 13600 \frac{кг}{м^3} + \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3}$

$ρ = 3400 \frac{кг}{м^3} + 500 \frac{кг}{м^3} = 3900 \frac{кг}{м^3}$

Ответ:

Плотность металла $ρ = 3900 \frac{кг}{м^3}$.