Номер 337, страница 67 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$F_1 = 2,0 \text{ кН}$

$F_2 = 2,5 \text{ кН}$

Плотность воды: $ρ_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина: $ρ_к = 800 \text{ кг/м}^3$

Переведем данные в систему СИ:

$F_1 = 2,0 \times 10^3 \text{ Н} = 2000 \text{ Н}$

$F_2 = 2,5 \times 10^3 \text{ Н} = 2500 \text{ Н}$

Найти:

$ρ$

Решение:

Когда кусок металла подвешен к динамометру и погружен в жидкость, показание динамометра $F$ (вес тела в жидкости) равно разности между его весом в воздухе $P$ и выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$.

$F = P - F_A$

Вес тела в воздухе определяется как $P = mg = ρVg$, где $ρ$ – плотность металла, $V$ – его объем, а $g$ – ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила определяется как $F_A = ρ_{ж}Vg$, где $ρ_{ж}$ – плотность жидкости.

Запишем уравнения для двух случаев:

1. Металл в воде:

$F_1 = P - F_{A1} = ρVg - ρ_вVg = (ρ - ρ_в)Vg$

2. Металл в керосине:

$F_2 = P - F_{A2} = ρVg - ρ_кVg = (ρ - ρ_к)Vg$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $ρ$ и $V$. Чтобы найти $ρ$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{(ρ - ρ_в)Vg}{(ρ - ρ_к)Vg}$

Сократив $Vg$, получим:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{ρ - ρ_в}{ρ - ρ_к}$

Теперь выразим плотность металла $ρ$ из этого уравнения:

$F_1(ρ - ρ_к) = F_2(ρ - ρ_в)$

$F_1ρ - F_1ρ_к = F_2ρ - F_2ρ_в$

$F_2ρ_в - F_1ρ_к = F_2ρ - F_1ρ$

$F_2ρ_в - F_1ρ_к = ρ(F_2 - F_1)$

$ρ = \frac{F_2ρ_в - F_1ρ_к}{F_2 - F_1}$

Подставим числовые значения:

$ρ = \frac{2500 \text{ Н} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 2000 \text{ Н} \cdot 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{2500 \text{ Н} - 2000 \text{ Н}} = \frac{2500000 - 1600000}{500} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = \frac{900000}{500} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность металла равна $1800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.