Номер 331, страница 66 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса человека, $m = 70 \text{ кг}$

Объем человека, $V = 66 \text{ дм}^3 = 0.066 \text{ м}^3$

Объем непогруженной части тела (голова и плечи), $V_1 = \frac{1}{8}V$

Плотность пробки, $\rho_{пр} = 0.20 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность морской воды (справочное значение), $\rho_{в} \approx 1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Объем пробкового пояса, $V_2$

Решение:

Поскольку человек с поясом плавает на поверхности воды, система находится в равновесии. Это означает, что суммарная сила тяжести, действующая на человека и пояс, уравновешена суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на погруженные в воду части.

Условие плавания тел:

$F_{тяж.общ} = F_{А.общ}$

Суммарная сила тяжести складывается из силы тяжести человека ($m \cdot g$) и силы тяжести пояса ($m_{пр} \cdot g$):

$F_{тяж.общ} = m \cdot g + m_{пр} \cdot g$

Массу пояса $m_{пр}$ выразим через его объем $V_2$ и плотность пробки $\rho_{пр}$:

$m_{пр} = \rho_{пр} \cdot V_2$

Тогда суммарная сила тяжести равна:

$F_{тяж.общ} = (m + \rho_{пр} \cdot V_2) \cdot g$

Суммарная выталкивающая сила складывается из силы Архимеда, действующей на погруженную часть тела человека, и силы Архимеда, действующей на пояс. Будем считать, что пояс погружен в воду полностью для обеспечения максимальной плавучести.

Объем погруженной части тела человека $V_{погр}$ равен общему объему тела $V$ за вычетом непогруженного объема $V_1$:

$V_{погр} = V - V_1 = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$

Тогда суммарная выталкивающая сила равна:

$F_{А.общ} = F_{А.чел} + F_{А.пояс} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр} + \rho_{в} \cdot g \cdot V_2$

$F_{А.общ} = (\rho_{в} \cdot \frac{7}{8}V + \rho_{в} \cdot V_2) \cdot g$

Теперь приравняем выражения для силы тяжести и выталкивающей силы:

$(m + \rho_{пр} \cdot V_2) \cdot g = (\rho_{в} \cdot \frac{7}{8}V + \rho_{в} \cdot V_2) \cdot g$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$:

$m + \rho_{пр} \cdot V_2 = \rho_{в} \cdot \frac{7}{8}V + \rho_{в} \cdot V_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие искомый объем $V_2$, в одной части уравнения:

$m - \rho_{в} \cdot \frac{7}{8}V = \rho_{в} \cdot V_2 - \rho_{пр} \cdot V_2$

$m - \rho_{в} \cdot \frac{7}{8}V = V_2 \cdot (\rho_{в} - \rho_{пр})$

Отсюда выразим объем пояса $V_2$:

$V_2 = \frac{m - \rho_{в} \frac{7}{8}V}{\rho_{в} - \rho_{пр}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$V_2 = \frac{70 \text{ кг} - 1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{7}{8} \cdot 0.066 \text{ м}^3}{1030 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{70 - 1030 \cdot 0.875 \cdot 0.066}{830} \text{ м}^3$

$V_2 = \frac{70 - 59.4825}{830} \text{ м}^3 = \frac{10.5175}{830} \text{ м}^3 \approx 0.01267 \text{ м}^3$

Переведем полученный результат в кубические дециметры (литры), зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$:

$V_2 \approx 0.01267 \cdot 1000 \text{ дм}^3 \approx 12.67 \text{ дм}^3$

Округлим результат с учетом точности исходных данных (две значащие цифры).

$V_2 \approx 13 \text{ дм}^3$

Ответ: объем пояса $V_2 \approx 13 \text{ дм}^3$.