Номер 328, страница 66 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 10 \text{ м}$

$S = 3,0 \text{ дм}^2 = 3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = 0,03 \text{ м}^2$

$P = 10 \text{ кН} = 10 \cdot 10^3 \text{ Н} = 10000 \text{ Н}$

$\rho = 0,80 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,80 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 0,80 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

$g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$n$ - наименьшее число бревен.

Решение:

Для того чтобы плот с автомобилем мог плавать, необходимо, чтобы выталкивающая сила Архимеда $F_A$, действующая на плот, была равна или больше суммарного веса плота $P_{пл}$ и автомобиля $P$. Для определения наименьшего числа бревен $n$ рассмотрим предельный случай, когда плот полностью погружен в воду. В этом случае выталкивающая сила максимальна.

Условие плавания в предельном случае записывается как:

$F_A = P_{пл} + P$

Выталкивающая сила $F_A$ равна весу вытесненной жидкости. Объем вытесненной жидкости равен полному объему плота $V_{пл}$, который состоит из $n$ бревен.

Объем одного бревна: $V_1 = S \cdot l$.

Общий объем плота: $V_{пл} = n \cdot V_1 = n \cdot S \cdot l$.

Выталкивающая сила, действующая на плот:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{пл} = \rho_в \cdot g \cdot n \cdot S \cdot l$

Вес плота $P_{пл}$ равен весу $n$ бревен. Вес одного бревна $P_1 = m_1 \cdot g = \rho \cdot V_1 \cdot g = \rho \cdot S \cdot l \cdot g$.

Общий вес плота:

$P_{пл} = n \cdot P_1 = n \cdot \rho \cdot S \cdot l \cdot g$

Теперь подставим выражения для $F_A$ и $P_{пл}$ в условие плавания:

$\rho_в \cdot g \cdot n \cdot S \cdot l = n \cdot \rho \cdot S \cdot l \cdot g + P$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $n$, в левой части уравнения:

$\rho_в \cdot g \cdot n \cdot S \cdot l - n \cdot \rho \cdot S \cdot l \cdot g = P$

$n \cdot S \cdot l \cdot g \cdot (\rho_в - \rho) = P$

Выразим искомое число бревен $n$:

$n = \frac{P}{S \cdot l \cdot g \cdot (\rho_в - \rho)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$n = \frac{10000 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}^2 \cdot 10 \text{ м} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}$

$n = \frac{10000}{0,3 \cdot 10 \cdot 200} = \frac{10000}{3 \cdot 200} = \frac{10000}{600} = \frac{100}{6} \approx 16,67$

Так как число бревен должно быть целым, а 16 бревен будет недостаточно для удержания автомобиля на плаву, необходимо округлить полученное значение до ближайшего большего целого числа.

Следовательно, минимально необходимое число бревен составляет 17.

Ответ: $n = 17$.