Номер 326, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Толщина льдины, $h = 10$ м

Плотность льда (пресного), $\rho_л \approx 900$ кг/м³ (табличное значение)

Плотность морской воды, $\rho_в \approx 1030$ кг/м³ (табличное значение)

Найти:

Наименьшая длина веревки, $l$

Решение:

Чтобы зачерпнуть воды из проруби, веревка должна доставать от верхней поверхности льдины до уровня воды. Таким образом, наименьшая длина веревки $l$ равна высоте надводной части льдины.

Льдина плавает в воде, это означает, что сила тяжести, действующая на льдину, уравновешена выталкивающей силой Архимеда.

$F_т = F_A$

Сила тяжести, действующая на всю льдину, равна $F_т = m_л g = \rho_л V_л g$, где $V_л$ - объем всей льдины.

Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = m_в g = \rho_в V_п g$, где $V_п$ - объем погруженной (подводной) части льдины.

Приравняем эти силы:

$\rho_л V_л g = \rho_в V_п g$

Сократим на $g$:

$\rho_л V_л = \rho_в V_п$

Пусть $S$ - площадь основания льдины, $h$ - ее полная толщина, а $h_п$ - толщина погруженной части. Тогда объем всей льдины $V_л = S \cdot h$, а объем погруженной части $V_п = S \cdot h_п$.

Подставим выражения для объемов в уравнение:

$\rho_л (S \cdot h) = \rho_в (S \cdot h_п)$

Сократив площадь $S$, получим соотношение для толщины:

$\rho_л h = \rho_в h_п$

Отсюда можем найти толщину погруженной части льдины:

$h_п = h \frac{\rho_л}{\rho_в}$

Наименьшая необходимая длина веревки $l$ равна высоте надводной части льдины $h_н$:

$l = h_н = h - h_п$

Подставим выражение для $h_п$:

$l = h - h \frac{\rho_л}{\rho_в} = h \left(1 - \frac{\rho_л}{\rho_в}\right)$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$l = 10 \cdot \left(1 - \frac{900 \text{ кг/м³}}{1030 \text{ кг/м³}}\right) \approx 10 \cdot (1 - 0.874) = 10 \cdot 0.126 = 1.26$ м

Ответ: наименьшая длина веревки, чтобы зачерпнуть ведро морской воды из проруби, составляет приблизительно $1.26$ м.