Номер 319, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Масса стержня, $m = 1,0 \text{ кг}$
Угол наклона стержня к горизонту, $\alpha = 45^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Модуль силы реакции шарнира, $N$

Решение

Стержень находится в состоянии равновесия. Согласно условиям статического равновесия, векторная сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения также равна нулю.

На стержень действуют три силы:
1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (поскольку стержень однородный, центр масс находится в его середине) и направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная горизонтально и приложенная к верхнему концу стержня.
3. Сила реакции шарнира $\vec{N}$, приложенная в точке А. Разложим эту силу на две составляющие: горизонтальную $N_x$ и вертикальную $N_y$.

Запишем первое условие равновесия (сумма сил равна нулю) в проекциях на оси координат. Направим ось Ox горизонтально вправо, а ось Oy — вертикально вверх.

Проекция на ось Ox: $N_x - T = 0 \implies N_x = T$.
Проекция на ось Oy: $N_y - mg = 0 \implies N_y = mg$.

Для нахождения силы натяжения нити $T$ запишем второе условие равновесия — правило моментов. В качестве оси вращения выберем точку А (шарнир). Момент силы реакции шарнира $\vec{N}$ относительно этой точки равен нулю, так как плечо силы равно нулю.

Пусть длина стержня равна $L$.

Момент силы тяжести $M_g$ вращает стержень по часовой стрелке. Сила $mg$ приложена на расстоянии $L/2$ от точки А. Плечо силы тяжести равно $d_g = \frac{L}{2}\cos\alpha$. Тогда момент силы: $M_g = mg \cdot \frac{L}{2}\cos\alpha$.

Момент силы натяжения нити $M_T$ вращает стержень против часовой стрелки. Сила $T$ приложена на расстоянии $L$ от точки А. Плечо силы натяжения равно $d_T = L\sin\alpha$. Тогда момент силы: $M_T = T \cdot L\sin\alpha$.

Условие равновесия моментов: $M_T = M_g$.

$T L\sin\alpha = mg \frac{L}{2}\cos\alpha$

Сократим на $L$ и выразим $T$:

$T = \frac{mg}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{2\tan\alpha}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot \tan(45^\circ)} = \frac{10 \text{ Н}}{2 \cdot 1} = 5 \text{ Н}$

Теперь мы можем найти компоненты силы реакции шарнира:

$N_x = T = 5 \text{ Н}$

$N_y = mg = 1,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 10 \text{ Н}$

Модуль силы реакции шарнира $N$ найдем по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются $N_x$ и $N_y$:

$N = \sqrt{N_x^2 + N_y^2} = \sqrt{(5 \text{ Н})^2 + (10 \text{ Н})^2} = \sqrt{25 \text{ Н}^2 + 100 \text{ Н}^2} = \sqrt{125 \text{ Н}^2} = 5\sqrt{5} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение:

$N \approx 5 \cdot 2,236 \text{ Н} \approx 11,18 \text{ Н}$

С учетом точности исходных данных, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $N = 5\sqrt{5} \text{ Н} \approx 11 \text{ Н}$.