Номер 320, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса стержня: $m$

Угол $\angle ABC = \alpha$

Угол $\angle BCA = \alpha$

Найти:

$F_{упр}$ - модуль силы упругости нити.

Решение:

На стержень AB действуют три силы: сила тяжести $\vec{P}$, сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{упр}$ и сила реакции шарнира $\vec{R}$ в точке B.

Стержень находится в равновесии, следовательно, сумма моментов всех сил, действующих на него, относительно любой точки равна нулю. Для решения задачи удобно использовать правило моментов относительно точки B, так как в этом случае момент силы реакции шарнира $\vec{R}$ будет равен нулю (плечо силы равно нулю) и эту силу можно не рассматривать.

Условие равновесия моментов относительно точки B:

$M_P + M_{F_{упр}} = 0$

В скалярной форме, приравнивая модули моментов сил, вращающих стержень в противоположных направлениях (сила тяжести вращает по часовой стрелке, а сила натяжения нити - против), получим:

$|M_P| = |M_{F_{упр}}|$

1. Найдем момент силы тяжести $M_P$.

Сила тяжести $P=mg$ приложена к центру масс стержня. Если стержень однородный, то центр масс находится в его середине. Обозначим длину стержня как $L$. Плечо силы тяжести $d_P$ - это перпендикулярное расстояние от точки B до линии действия силы тяжести. Так как сила тяжести направлена вертикально, а линия BC также вертикальна по условию, то угол между стержнем AB и вертикалью равен $\alpha$.

Плечо силы тяжести, приложенной к середине стержня, равно:

$d_P = \frac{L}{2} \sin{\alpha}$

Тогда модуль момента силы тяжести:

$|M_P| = P \cdot d_P = mg \frac{L}{2} \sin{\alpha}$

2. Найдем момент силы упругости нити $M_{F_{упр}}$.

Сила упругости $F_{упр}$ приложена к концу стержня в точке A и направлена вдоль нити AC. Модуль момента этой силы можно найти по формуле $|M| = F \cdot r \cdot \sin{\theta}$, где $r$ - расстояние от оси вращения до точки приложения силы ($r = AB = L$), а $\theta$ - угол между стержнем AB и нитью AC, то есть угол $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию $\angle ABC = \alpha$ и $\angle BCA = \alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^\circ - 2\alpha$

Модуль момента силы упругости:

$|M_{F_{упр}}| = F_{упр} \cdot L \cdot \sin(\angle BAC) = F_{упр} \cdot L \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha)$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$|M_{F_{упр}}| = F_{упр} \cdot L \cdot \sin(2\alpha)$

3. Приравняем модули моментов и найдем $F_{упр}$.

$mg \frac{L}{2} \sin{\alpha} = F_{упр} \cdot L \cdot \sin(2\alpha)$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}$.

$mg \frac{L}{2} \sin{\alpha} = F_{упр} \cdot L \cdot (2 \sin{\alpha} \cos{\alpha})$

Сократим обе части уравнения на $L \sin{\alpha}$ (по условию задачи стержень не вертикален, поэтому $\alpha \neq 0$).

$\frac{mg}{2} = F_{упр} \cdot 2 \cos{\alpha}$

Отсюда выразим искомую силу упругости:

$F_{упр} = \frac{mg}{4 \cos{\alpha}}$

Ответ: $F_{упр} = \frac{mg}{4 \cos{\alpha}}$.