Номер 315, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

m - масса лестницы

α - угол между лестницей и горизонтальной опорой

g - ускорение свободного падения

Стена гладкая (трение о стену отсутствует)

Найти:

N - модуль силы реакции со стороны стены

Решение:

Рассмотрим условия равновесия однородной лестницы. На лестницу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс лестницы (в ее середине, так как лестница однородная), направленная вертикально вниз.

2. Сила реакции гладкой вертикальной стены $N$, направленная перпендикулярно стене (горизонтально).

3. Сила реакции со стороны горизонтальной опоры (пола), которую можно разложить на две составляющие: вертикальную силу нормальной реакции $N_{оп}$ и горизонтальную силу трения покоя $F_{тр}$, направленную к стене.

Поскольку лестница находится в состоянии покоя, она находится в равновесии. Это означает, что сумма моментов всех сил, действующих на нее, относительно любой точки равна нулю. Удобно выбрать точку опоры лестницы на горизонтальную поверхность в качестве оси вращения (точки О). В этом случае моменты сил $N_{оп}$ и $F_{тр}$ равны нулю, так как их плечи (расстояние от оси вращения до линии действия силы) равны нулю.

Запишем уравнение моментов относительно точки О. Момент силы определяется как произведение модуля силы на ее плечо. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Пусть $L$ — длина лестницы.

Момент силы тяжести $M_{mg}$ вращает лестницу по часовой стрелке. Сила тяжести $mg$ приложена на расстоянии $L/2$ от точки О. Ее плечо равно $d_1 = \frac{L}{2} \cos(\alpha)$.

$M_{mg} = mg \cdot d_1 = mg \frac{L}{2} \cos(\alpha)$

Момент силы реакции стены $M_N$ вращает лестницу против часовой стрелки. Сила $N$ приложена на верхнем конце лестницы. Ее плечо равно вертикальному расстоянию от точки О до точки приложения силы, то есть $d_2 = L \sin(\alpha)$.

$M_N = N \cdot d_2 = N L \sin(\alpha)$

Согласно условию равновесия, алгебраическая сумма моментов сил равна нулю (моменты, вращающие тело в противоположных направлениях, имеют разные знаки):

$M_N - M_{mg} = 0$

$N L \sin(\alpha) - mg \frac{L}{2} \cos(\alpha) = 0$

Перенесем член с моментом силы тяжести в правую часть уравнения:

$N L \sin(\alpha) = mg \frac{L}{2} \cos(\alpha)$

Сократим на длину лестницы $L$ и выразим искомую силу $N$:

$N \sin(\alpha) = \frac{mg}{2} \cos(\alpha)$

$N = \frac{mg \cos(\alpha)}{2 \sin(\alpha)}$

Используя тригонометрическое определение котангенса $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, или тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, можем записать ответ в более компактном виде.

$N = \frac{mg}{2} \cot(\alpha)$

Или:

$N = \frac{mg}{2 \tan(\alpha)}$

Ответ: Модуль силы реакции $N$, действующей на лестницу со стороны стены, равен $N = \frac{mg}{2 \tan(\alpha)}$ или $N = \frac{mg}{2} \cot(\alpha)$.