Номер 311, страница 63 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$m_1 = 0.20$ т

$m_2 = 0.30$ т

$l = 6.0$ м

$l_1 = 1.0$ м (расстояние от груза до правой опоры)

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 0.20 \cdot 1000 = 200$ кг
$m_2 = 0.30 \cdot 1000 = 300$ кг

Найти:

$N_A, N_B$

Решение

Балка находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что выполняются два условия:

1. Сумма всех сил, действующих на балку, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.

Обозначим левую опору как A, а правую — как B. На балку действуют следующие силы, направленные вертикально:

- Сила тяжести балки $P_1 = m_1g$, приложенная в ее центре (на расстоянии $l/2$ от опоры А), так как балка однородная.

- Сила тяжести груза $P_2 = m_2g$, приложенная на расстоянии $l_1$ от правой опоры B, то есть на расстоянии $l - l_1$ от левой опоры А.

- Силы реакции опор $N_A$ и $N_B$, направленные вверх.

Запишем первое условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$N_A + N_B - P_1 - P_2 = 0$

$N_A + N_B = (m_1 + m_2)g$ (1)

Запишем второе условие равновесия (уравнение моментов) относительно точки А. Примем моменты, вращающие балку против часовой стрелки, за положительные, а по часовой стрелке — за отрицательные.

$\sum M_A = N_B \cdot l - P_1 \cdot \frac{l}{2} - P_2 \cdot (l - l_1) = 0$ (2)

Модуль нормальной реакции $N_B$

Из уравнения моментов (2) выразим силу реакции правой опоры $N_B$:

$N_B \cdot l = P_1 \cdot \frac{l}{2} + P_2 \cdot (l - l_1)$

$N_B \cdot l = m_1g \frac{l}{2} + m_2g (l - l_1)$

$N_B = \frac{g}{l} \left( m_1 \frac{l}{2} + m_2 (l - l_1) \right)$

Подставим числовые значения:

$N_B = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{6.0 \, \text{м}} \left( 200 \, \text{кг} \cdot \frac{6.0 \, \text{м}}{2} + 300 \, \text{кг} \cdot (6.0 \, \text{м} - 1.0 \, \text{м}) \right)$

$N_B = \frac{9.8}{6.0} (200 \cdot 3.0 + 300 \cdot 5.0) = \frac{9.8}{6.0} (600 + 1500)$

$N_B = \frac{9.8}{6.0} \cdot 2100 = 9.8 \cdot 350 = 3430 \, \text{Н}$

Ответ: $N_B = 3430$ Н, или $3.43$ кН.

Модуль нормальной реакции $N_A$

Из уравнения сил (1) выразим силу реакции левой опоры $N_A$:

$N_A = (m_1 + m_2)g - N_B$

Подставим числовые значения:

$N_A = (200 \, \text{кг} + 300 \, \text{кг}) \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 - 3430 \, \text{Н}$

$N_A = 500 \cdot 9.8 \, \text{Н} - 3430 \, \text{Н} = 4900 \, \text{Н} - 3430 \, \text{Н} = 1470 \, \text{Н}$

Ответ: $N_A = 1470$ Н, или $1.47$ кН.