Номер 305, страница 63 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 20$ кг

$\alpha = 30^\circ$

$F = 50$ Н

Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$.

Найти:

$\frac{F_{тр}}{N}$

Решение:

На груз, находящийся в равновесии на наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, горизонтально направленная сила $\vec{F}$ и сила трения покоя $\vec{F_{тр}}$.

Выберем систему координат с осью $OX$, направленной вверх вдоль наклонной плоскости, и осью $OY$, перпендикулярной наклонной плоскости. Согласно первому закону Ньютона, для тела в равновесии сумма всех сил равна нулю. Запишем это условие в проекциях на оси координат:

$\sum F_x = 0$

$\sum F_y = 0$

Спроектируем все силы на ось $OY$. Сила $\vec{N}$ направлена вдоль оси $OY$. Проекция силы тяжести на ось $OY$ равна $-mg \cos \alpha$. Проекция горизонтальной силы $\vec{F}$ на ось $OY$ равна $-F \sin \alpha$.

$OY: N - mg \cos \alpha - F \sin \alpha = 0$

Из этого уравнения находим модуль силы нормальной реакции:

$N = mg \cos \alpha + F \sin \alpha$

Теперь спроектируем силы на ось $OX$. Проекция силы $\vec{F}$ на ось $OX$ равна $F \cos \alpha$. Проекция силы тяжести на ось $OX$ равна $-mg \sin \alpha$. Направление силы трения $\vec{F_{тр}}$ зависит от того, куда бы двигалось тело в её отсутствие. Сравним модули проекций сил $\vec{F}$ и $m\vec{g}$ на ось $OX$:

Составляющая силы, толкающая груз вверх по склону: $F \cos \alpha = 50 \cdot \cos 30^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \approx 43.3$ Н.

Составляющая силы тяжести, тянущая груз вниз по склону: $mg \sin \alpha = 20 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 200 \cdot 0.5 = 100$ Н.

Поскольку $mg \sin \alpha > F \cos \alpha$, тело стремится соскользнуть вниз. Значит, сила трения покоя $F_{тр}$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, то есть в положительном направлении оси $OX$.

Уравнение для оси $OX$ имеет вид:

$OX: F \cos \alpha + F_{тр} - mg \sin \alpha = 0$

Из этого уравнения находим модуль силы трения:

$F_{тр} = mg \sin \alpha - F \cos \alpha$

Теперь можем найти искомое отношение:

$\frac{F_{тр}}{N} = \frac{mg \sin \alpha - F \cos \alpha}{mg \cos \alpha + F \sin \alpha}$

Подставим числовые значения:

$F_{тр} = 20 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ - 50 \cdot \cos 30^\circ = 200 \cdot 0.5 - 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 - 25\sqrt{3}$ Н.

$N = 20 \cdot 10 \cdot \cos 30^\circ + 50 \cdot \sin 30^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 50 \cdot 0.5 = 100\sqrt{3} + 25$ Н.

$\frac{F_{тр}}{N} = \frac{100 - 25\sqrt{3}}{100\sqrt{3} + 25} = \frac{25(4 - \sqrt{3})}{25(4\sqrt{3} + 1)} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 1}$

Для получения численного ответа, используем $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$\frac{F_{тр}}{N} \approx \frac{4 - 1.732}{4 \cdot 1.732 + 1} = \frac{2.268}{6.928 + 1} = \frac{2.268}{7.928} \approx 0.286$

Округлив до сотых, получаем 0.29.

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 1} \approx 0.29$.