Номер 298, страница 59 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус сферы: $R = 25$ см

Частота вращения: $\nu = 110$ мин⁻¹

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

$R = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$
$\nu = 110 \text{ мин}^{-1} = \frac{110}{60} \text{ с}^{-1} = \frac{11}{6} \text{ Гц}$

Найти:

Высоту, на которой расположен шарик: $h$

Решение:

Когда сфера вращается, маленький шарик внутри нее устанавливается на некоторой высоте $h$ от нижней точки и вращается вместе со сферой по горизонтальной окружности радиусом $r$. Рассмотрим силы, действующие на шарик в инерциальной системе отсчета. Это сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны стенки сферы, направленная перпендикулярно поверхности в точке контакта (то есть по радиусу к центру сферы).

Равнодействующая этих двух сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, направленное горизонтально к оси вращения. По второму закону Ньютона: $m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a_c}$.

Введем систему координат с началом в центре сферы и осью OY, направленной вертикально вверх. Пусть радиус-вектор, проведенный из центра сферы к шарику, составляет угол $\theta$ с отрицательным направлением оси OY (то есть с направлением вниз). Тогда высота шарика $h$ над нижней точкой сферы и радиус $r$ его траектории выражаются через радиус сферы $R$ и угол $\theta$ как:

$h = R - R\cos\theta = R(1 - \cos\theta)$

$r = R\sin\theta$

Спроецируем второй закон Ньютона на оси координат. Сила $\vec{N}$ составляет угол $\theta$ с вертикалью.

На вертикальную ось OY: $N\cos\theta - mg = 0$ (так как вертикального ускорения нет).

$N\cos\theta = mg$ (1)

На горизонтальную ось (направленную к центру траектории): $N\sin\theta = ma_c$.

Центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 r = \omega^2 R\sin\theta$, где $\omega$ - угловая скорость вращения. Тогда:

$N\sin\theta = m\omega^2 R\sin\theta$ (2)

Из уравнения (2) следует, что $N = m\omega^2 R$ (при условии, что шарик покинул нижнюю точку, т.е. $\sin\theta \neq 0$).

Подставим это выражение для $N$ в уравнение (1):

$(m\omega^2 R)\cos\theta = mg$

Отсюда находим $\cos\theta$:

$\cos\theta = \frac{g}{\omega^2 R}$

Теперь можем выразить искомую высоту $h$:

$h = R(1 - \cos\theta) = R\left(1 - \frac{g}{\omega^2 R}\right) = R - \frac{g}{\omega^2}$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Произведем вычисления. Сначала найдем угловую скорость в СИ:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot \frac{11}{6} \text{ с}^{-1} = \frac{11\pi}{3}$ рад/с

Теперь рассчитаем высоту $h$:

$h = 0.25 \text{ м} - \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{\left(\frac{11\pi}{3} \text{ рад/с}\right)^2} = 0.25 - \frac{9.8}{\frac{121\pi^2}{9}} = 0.25 - \frac{9.8 \cdot 9}{121\pi^2}$

Принимая $\pi^2 \approx 9.87$:

$h \approx 0.25 - \frac{88.2}{121 \cdot 9.87} = 0.25 - \frac{88.2}{1194.27} \approx 0.25 - 0.07385 \approx 0.17615$ м

Переводя в сантиметры, получаем $h \approx 17.6$ см.

Ответ: высота, на которой расположен шарик, составляет $h \approx 17.6$ см.