Номер 294, страница 59 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина нити $l = 18 \text{ см}$

Угол отклонения нити $\alpha = 45^\circ$

Соотношение сил $F_{упр} = \sqrt{2} N$, где $F_{упр}$ – сила упругости (натяжения) нити, $N$ – сила реакции опоры (диска).

$l = 0.18 \text{ м}$

Найти:

Период вращения $T$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на шарик во вращающейся системе отсчета. На шарик действуют: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз; сила натяжения нити $F_{упр}$, направленная вдоль нити к точке подвеса; и сила нормальной реакции опоры $N$ со стороны диска, направленная вертикально вверх.

Шарик движется по окружности радиусом $r = l \sin{\alpha}$. Его ускорение является центростремительным и направлено горизонтально к оси вращения. Величина этого ускорения $a_ц = \omega^2 r = (\frac{2\pi}{T})^2 r$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную (Y) и горизонтальную (X) оси. Ось Y направим вертикально вверх, ось X — горизонтально к центру вращения.

Проекция на ось Y:

$F_{упр} \cos{\alpha} + N - mg = 0$

Поскольку шарик не движется в вертикальном направлении, сумма сил по этой оси равна нулю.

Проекция на ось X:

$F_{упр} \sin{\alpha} = m a_ц$

Горизонтальная составляющая силы натяжения нити сообщает шарику центростремительное ускорение.

Подставим в эти уравнения известные соотношения. Из условия $F_{упр} = \sqrt{2} N$, следовательно $N = \frac{F_{упр}}{\sqrt{2}}$.

Подставим это выражение для $N$ в уравнение для оси Y:

$F_{упр} \cos{\alpha} + \frac{F_{упр}}{\sqrt{2}} - mg = 0$

$F_{упр} (\cos{\alpha} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = mg$

Так как $\alpha = 45^\circ$, то $\cos{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$F_{упр} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = mg$

$F_{упр} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = mg$

$F_{упр} \sqrt{2} = mg \implies F_{упр} = \frac{mg}{\sqrt{2}}$

Теперь вернемся к уравнению для оси X и подставим в него выражение для центростремительного ускорения $a_ц = (\frac{2\pi}{T})^2 l \sin{\alpha}$:

$F_{упр} \sin{\alpha} = m (\frac{2\pi}{T})^2 l \sin{\alpha}$

Поскольку $\alpha = 45^\circ \ne 0$, можно сократить на $\sin{\alpha}$:

$F_{упр} = m \frac{4\pi^2}{T^2} l$

Приравняем два полученных выражения для силы натяжения $F_{упр}$:

$m \frac{4\pi^2}{T^2} l = \frac{mg}{\sqrt{2}}$

Масса $m$ сокращается:

$\frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{g}{\sqrt{2}}$

Выразим отсюда $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 l \sqrt{2}}{g}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти период $T$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l \sqrt{2}}{g}}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.18 \cdot \sqrt{2}}{9.8}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{0.18 \cdot 1.414}{9.8}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{\frac{0.2545}{9.8}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.026} \approx 6.28 \cdot 0.161 \approx 1.01 \text{ с}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \sqrt{2}}{g}} \approx 1.01 \text{ с}$.