Номер 292, страница 58 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 98 \text{ см} = 0.98 \text{ м}$
$\alpha = 60^\circ$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$T$

Решение:

Груз, движущийся по окружности на нити, представляет собой конический маятник. На него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $F_T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено горизонтально к центру окружности, по которой движется груз. Для удобства разложим силу натяжения $F_T$ на вертикальную ($F_{Ty}$) и горизонтальную ($F_{Tx}$) составляющие.

Поскольку по вертикали движение отсутствует, вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу тяжести:

$F_{Ty} = F_T \cos\alpha = mg$ (1)

Горизонтальная составляющая силы натяжения является центростремительной силой, которая и заставляет груз двигаться по окружности. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{Tx} = F_T \sin\alpha = ma_c$ (2)

Радиус окружности $r$, по которой движется груз, связан с длиной нити $l$ и углом $\alpha$:

$r = l \sin\alpha$

Центростремительное ускорение $a_c$ можно выразить через период обращения $T$ и радиус $r$:

$a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \frac{4\pi^2 l \sin\alpha}{T^2}$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{F_T \sin\alpha}{F_T \cos\alpha} = \frac{ma_c}{mg}$

$\text{tg}\alpha = \frac{a_c}{g}$

Отсюда $a_c = g \cdot \text{tg}\alpha$.

Теперь приравняем два выражения для центростремительного ускорения:

$\frac{4\pi^2 l \sin\alpha}{T^2} = g \cdot \text{tg}\alpha = g \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Сократим $\sin\alpha$ в обеих частях уравнения (так как $\alpha = 60^\circ \ne 0$):

$\frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{g}{\cos\alpha}$

Выразим из этого уравнения $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 l \cos\alpha}{g}$

И найдем период $T$:

$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 l \cos\alpha}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\alpha}{g}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.98 \text{ м} \cdot \cos(60^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.98 \cdot 0.5}{9.8}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.49}{9.8}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{20}}$

$T \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.05} \approx 6.28 \cdot 0.2236 \approx 1.404 \text{ с}$

Ответ: $T \approx 1.4 \text{ с}$.