Номер 291, страница 58 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10$ кг

$l = 40$ см

$\alpha = 60^\circ$

В системе СИ:

$l = 0,40$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Найти:

$\omega - ?$

$F_{упр} - ?$

Решение:

Шарик, движущийся по окружности в горизонтальной плоскости, является коническим маятником. На него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a}_ц$, направленное горизонтально к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона: $m\vec{a}_ц = m\vec{g} + \vec{F}_{упр}$.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Спроецируем уравнение второго закона Ньютона на эти оси:

На ось OY: $0 = F_{упр} \cos\alpha - mg$

На ось OX: $ma_ц = F_{упр} \sin\alpha$

Центростремительное ускорение связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом окружности $R$ соотношением $a_ц = \omega^2 R$. Радиус окружности, по которой движется шарик, можно найти из геометрии: $R = l \sin\alpha$.

модуль силы упругости F_упр нити

Из проекции сил на вертикальную ось OY выразим модуль силы упругости нити $F_{упр}$:

$F_{упр} \cos\alpha = mg \implies F_{упр} = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставим числовые значения:

$F_{упр} = \frac{0,10 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{\cos60^\circ} = \frac{0,98 \text{ Н}}{0,5} = 1,96 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы упругости нити равен $1,96$ Н.

модуль угловой скорости ω шарика

Для нахождения угловой скорости разделим уравнение для проекции на ось OX на уравнение для проекции на ось OY:

$\frac{ma_ц}{mg} = \frac{F_{упр} \sin\alpha}{F_{упр} \cos\alpha}$

$\frac{a_ц}{g} = \tan\alpha$

Подставим выражения для $a_ц = \omega^2 R$ и $R = l \sin\alpha$:

$\frac{\omega^2 l \sin\alpha}{g} = \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Сократив на $\sin\alpha$ (так как $\alpha = 60^\circ \ne 0$), получим:

$\frac{\omega^2 l}{g} = \frac{1}{\cos\alpha}$

Выразим угловую скорость $\omega$:

$\omega^2 = \frac{g}{l \cos\alpha} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{l \cos\alpha}}$

Подставим числовые значения:

$\omega = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{0,40 \text{ м} \cdot \cos60^\circ}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,40 \cdot 0,5}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,2}} = \sqrt{49} = 7$ рад/с

Ответ: модуль угловой скорости шарика равен $7$ рад/с.