Номер 289, страница 58 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса маятника: $m$

Длина нити: $l$

Угол отклонения от вертикали: $\alpha$

Скорость маятника: $v$

Найти:

Модуль силы упругости (натяжения) нити: $F_{упр}$

Решение:

На тело математического маятника действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости (натяжения) нити $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу ускорение $\vec{a}$:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{F}_{упр}$

Тело маятника движется по дуге окружности радиусом $l$. Его ускорение $\vec{a}$ можно разложить на две составляющие: тангенциальную (касательную) $\vec{a}_{\tau}$ и нормальную (центростремительную) $\vec{a}_n$. Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности (в данном случае, к точке подвеса) и по модулю равно:

$a_n = \frac{v^2}{l}$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось, направленную вдоль нити к точке подвеса. Назовем ее осью $Y$.

Сила упругости $\vec{F}_{упр}$ полностью лежит на этой оси и ее проекция равна $F_{упр}$.

Сила тяжести $m\vec{g}$ направлена под углом $\alpha$ к этой оси. Ее проекция на ось $Y$ будет отрицательной (так как направлена от центра) и равна $-mg \cos{\alpha}$.

Равнодействующая сил в проекции на ось $Y$ равна $F_{упр} - mg \cos{\alpha}$.

Эта равнодействующая сообщает телу нормальное ускорение $a_n$. Таким образом, уравнение движения в проекции на ось $Y$ имеет вид:

$ma_n = F_{упр} - mg \cos{\alpha}$

Подставим выражение для нормального ускорения:

$m \frac{v^2}{l} = F_{упр} - mg \cos{\alpha}$

Выразим из этого уравнения искомую силу упругости $F_{упр}$:

$F_{упр} = mg \cos{\alpha} + m \frac{v^2}{l}$

Ответ: $F_{упр} = mg \cos{\alpha} + m \frac{v^2}{l}$