Номер 296, страница 59 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Угол наклона плоскости: $α$
Угловая скорость вращения: $ω$
Расстояние от тела до оси вращения: $R$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Наименьшее значение коэффициента трения $μ_{min}$, при котором тело удержится на плоскости.

Решение

Рассмотрим движение тела в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На тело действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, перпендикулярная наклонной плоскости, и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, лежащая в наклонной плоскости.

Тело движется по окружности радиусом $R$ в горизонтальной плоскости, следовательно, его ускорение является центростремительным, направлено горизонтально к оси вращения и равно по модулю $a_ц = ω^2R$.

Введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью: ось $OX$ направим вдоль плоскости вниз, а ось $OY$ — перпендикулярно плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси: $m\vec{a} = \vec{F}_{рез}$, где $\vec{F}_{рез} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Найдем проекции всех сил и ускорения на оси $OX$ и $OY$.

Проекции сил:

• Сила тяжести: $mg_x = mg \sin(α)$, $mg_y = -mg \cos(α)$
• Сила нормальной реакции: $N_x = 0$, $N_y = N$
• Сила трения (предположим, что она направлена вверх по плоскости, против тенденции соскальзывания вниз): $F_{тр, x} = -F_{тр}$, $F_{тр, y} = 0$

Проекции центростремительного ускорения $a_ц$:

• На ось $OX$: $a_x = -a_ц \cos(α) = -ω^2R \cos(α)$ (знак минус, так как проекция направлена вверх по склону)
• На ось $OY$: $a_y = -a_ц \sin(α) = -ω^2R \sin(α)$ (знак минус, так как проекция направлена "внутрь" плоскости)

Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях:
На ось $OY$: $N - mg \cos(α) = m a_y = m(-ω^2R \sin(α))$
Отсюда выразим силу нормальной реакции:
$N = mg \cos(α) - mω^2R \sin(α) = m(g \cos(α) - ω^2R \sin(α))$

На ось $OX$: $mg \sin(α) - F_{тр} = m a_x = m(-ω^2R \cos(α))$
Отсюда выразим силу трения, необходимую для удержания тела:
$F_{тр} = mg \sin(α) + mω^2R \cos(α) = m(g \sin(α) + ω^2R \cos(α))$

Для того чтобы тело оставалось в покое на наклонной плоскости, сила трения покоя не должна превышать максимального значения $F_{тр.макс} = μN$. Наименьший коэффициент трения соответствует предельному случаю, когда $F_{тр} = μ_{min}N$.

$μ_{min} = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{m(g \sin(α) + ω^2R \cos(α))}{m(g \cos(α) - ω^2R \sin(α))}$

Сократив массу $m$, получаем:
$μ_{min} = \frac{g \sin(α) + ω^2R \cos(α)}{g \cos(α) - ω^2R \sin(α)}$

Разделив числитель и знаменатель на $\cos(α)$, получим более компактную формулу:
$μ_{min} = \frac{g \tan(α) + ω^2R}{g - ω^2R \tan(α)}$

Заметим, что данное решение имеет физический смысл только при условии, что тело не отрывается от плоскости, то есть $N > 0$. Это накладывает ограничение на угловую скорость:
$g \cos(α) - ω^2R \sin(α) > 0 \implies g > ω^2R \tan(α)$.

Ответ: $μ_{min} = \frac{g \sin(α) + ω^2R \cos(α)}{g \cos(α) - ω^2R \sin(α)}$