Номер 297, страница 59 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 6,0$ м

$v_1 = 15$ км/ч

$r = 5,5$ м

Перевод в СИ:

$v_1 = 15 \frac{км}{ч} = 15 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{150}{36} \frac{м}{с} = \frac{25}{6} \frac{м}{с} \approx 4,17 \frac{м}{с}$

Найти:

$v_2$ — ?

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала найдем коэффициент трения скольжения $\mu$ из условия движения мотоциклиста по горизонтальной поверхности, а затем используем его для нахождения минимальной скорости $v_2$ при движении внутри цилиндра.

1. Движение по горизонтальной поверхности.

При движении по окружности на горизонтальной поверхности на мотоциклиста действуют: сила тяжести $mg$, направленная вниз; сила нормальной реакции опоры $N_1$, направленная вверх; и сила трения покоя $F_{тр1}$, направленная к центру поворота. Эта сила трения и создает центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY и горизонтальную ось OX (направленную к центру окружности):

OY: $N_1 - mg = 0 \implies N_1 = mg$

OX: $F_{тр1} = ma_{ц1} = m\frac{v_1^2}{r}$

Минимальный радиус поворота $r$ при заданной скорости $v_1$ достигается, когда сила трения покоя максимальна и равна силе трения скольжения: $F_{тр1_{max}} = \mu N_1 = \mu mg$.

Приравнивая выражения для силы трения, получаем:

$\mu mg = m\frac{v_1^2}{r}$

Отсюда находим коэффициент трения скольжения:

$\mu = \frac{v_1^2}{gr}$

2. Движение по внутренней поверхности цилиндра.

При движении внутри цилиндра на мотоциклиста действуют: сила тяжести $mg$, направленная вниз; сила нормальной реакции стенки $N_2$, направленная горизонтально к центру цилиндра; и сила трения $F_{тр2}$, направленная вертикально вверх (она противодействует силе тяжести и не дает мотоциклисту соскользнуть вниз).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY и горизонтальную ось OX:

OY: $F_{тр2} - mg = 0 \implies F_{тр2} = mg$

OX: $N_2 = ma_{ц2} = m\frac{v_2^2}{R}$

Минимальная скорость $v_2$, при которой мотоциклист не соскальзывает вниз, соответствует случаю, когда сила трения, удерживающая его, максимальна. То есть, $F_{тр2} = F_{тр2_{max}} = \mu N_2$.

Подставим в это равенство выражения для $F_{тр2}$ и $N_2$ из уравнений движения:

$mg = \mu \left( m\frac{v_2^2}{R} \right)$

Сокращаем массу $m$ и выражаем искомую скорость $v_2$:

$g = \frac{\mu v_2^2}{R} \implies v_2^2 = \frac{gR}{\mu} \implies v_2 = \sqrt{\frac{gR}{\mu}}$

3. Вычисление.

Подставим в полученную формулу для $v_2$ выражение для коэффициента трения $\mu$, которое мы нашли в первой части:

$v_2 = \sqrt{\frac{gR}{v_1^2 / (gr)}} = \sqrt{\frac{g^2Rr}{v_1^2}} = \frac{g}{v_1}\sqrt{Rr}$

Теперь подставим числовые значения ($g \approx 9,8$ м/с$^2$):

$v_2 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2}{25/6 \text{ м/с}} \sqrt{6,0 \text{ м} \cdot 5,5 \text{ м}} = \frac{9,8 \cdot 6}{25} \sqrt{33} \text{ м/с} \approx 2,352 \cdot 5,7446 \text{ м/с} \approx 13,51 \text{ м/с}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $13,5$ м/с.

Ответ: $v_2 \approx 13,5$ м/с.