Номер 304, страница 62 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 5,0 \text{ т}$

$l = 8,0 \text{ м}$

$h = 3,0 \text{ м}$

$\mu = 0,020$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 5,0 \cdot 10^3 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

Найти:

$F$ - модуль силы, необходимой для равномерного движения тела вверх по наклонной плоскости.

Решение:

В условии указан "коэффициент трения покоя", но задача решается для случая, когда "тело равномерно движется вверх". В этом случае на тело действует сила трения скольжения. Будем считать, что коэффициент трения скольжения равен данному коэффициенту трения покоя: $\mu_k = \mu = 0,020$.

Для решения задачи нам понадобится синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$. Найдем их из геометрических соображений:

$\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{3,0 \text{ м}}{8,0 \text{ м}} = 0,375$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l} = \frac{\sqrt{(8,0 \text{ м})^2 - (3,0 \text{ м})^2}}{8,0 \text{ м}} = \frac{\sqrt{64 - 9}}{8} = \frac{\sqrt{55}}{8} \approx 0,927$

а) параллельно наклонной плоскости

На тело действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$, приложенная сила $F_a$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Направим ось $OX$ вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $OY$ – перпендикулярно ей.

Поскольку тело движется равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил равна нулю. Запишем уравнения в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $OY: N - mg\cos\alpha = 0$, откуда сила реакции опоры $N = mg\cos\alpha$.

Проекция на ось $OX: F_a - mg\sin\alpha - F_{тр} = 0$.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos\alpha$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси $OX$ и выразим $F_a$:

$F_a = mg\sin\alpha + F_{тр} = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$.

Подставим числовые значения:

$F_a = 5000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,375 + 0,020 \cdot \frac{\sqrt{55}}{8}) \approx 49000 \cdot (0,375 + 0,020 \cdot 0,927) \approx 49000 \cdot 0,39354 \approx 19283 \text{ Н}$.

Округляя до трех значащих цифр, получаем $F_a \approx 19,3 \text{ кН}$.

Ответ: $19,3 \text{ кН}$.

б) параллельно основанию наклонной плоскости

В этом случае приложенная сила $F_b$ направлена горизонтально. Разложим ее на составляющие, параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости:

- Составляющая, направленная вверх вдоль плоскости: $F_{b,x} = F_b\cos\alpha$.

- Составляющая, направленная перпендикулярно плоскости (вдавливающая): $F_{b,y} = F_b\sin\alpha$.

Снова запишем уравнения равновесия в проекциях на те же оси $OX$ и $OY$:

Проекция на ось $OY: N - mg\cos\alpha - F_b\sin\alpha = 0$. Отсюда сила реакции опоры $N = mg\cos\alpha + F_b\sin\alpha$.

Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu(mg\cos\alpha + F_b\sin\alpha)$.

Проекция на ось $OX: F_b\cos\alpha - mg\sin\alpha - F_{тр} = 0$.

Подставим в это уравнение выражение для $F_{тр}$ и найдем $F_b$:

$F_b\cos\alpha - mg\sin\alpha - \mu(mg\cos\alpha + F_b\sin\alpha) = 0$

$F_b\cos\alpha - \mu F_b\sin\alpha = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha$

$F_b(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

$F_b = \frac{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{\cos\alpha - \mu\sin\alpha}$.

Подставим числовые значения, используя результат из пункта а):

$F_b = \frac{19283 \text{ Н}}{0,927 - 0,020 \cdot 0,375} \approx \frac{19283}{0,927 - 0,0075} = \frac{19283}{0,9195} \approx 20971 \text{ Н}$.

Округляя до трех значащих цифр, получаем $F_b \approx 21,0 \text{ кН}$.

Ответ: $21,0 \text{ кН}$.