Номер 307, страница 63 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 10$ кг

$\alpha = 30^\circ$

$g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

$F_{д1}$ — ?

$F_{д2}$ — ?

Решение:

Шар находится в состоянии покоя, следовательно, он находится в равновесии. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. На шар действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и две силы нормальной реакции со стороны наклонных плоскостей, $\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$. Силы нормальной реакции всегда перпендикулярны поверхностям, которые их создают.

Согласно третьему закону Ньютона, силы давления $F_{д1}$ и $F_{д2}$, которые шар оказывает на плоскости, равны по модулю и противоположны по направлению силам нормальной реакции, которые плоскости оказывают на шар. Таким образом, $F_{д1} = N_1$ и $F_{д2} = N_2$. Наша задача сводится к нахождению модулей сил нормальной реакции $N_1$ и $N_2$.

Рассмотрим геометрию задачи. Одна из плоскостей составляет с горизонтом угол $\alpha = 30°$. Вторая плоскость перпендикулярна первой. Если рассмотреть сечение, перпендикулярное линии пересечения плоскостей, то углы наклона плоскостей к горизонтали, $\alpha$ и $\beta$, будут связаны соотношением $\alpha + \beta = 90°$. Отсюда угол наклона второй плоскости $\beta = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.

Поскольку плоскости взаимно перпендикулярны, то и векторы сил нормальной реакции $\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$ также взаимно перпендикулярны.

Условие равновесия шара в векторной форме записывается так:

$\vec{N_1} + \vec{N_2} + m\vec{g} = 0$

Для нахождения модулей сил спроецируем это векторное уравнение на оси координат. Выберем стандартную систему координат: ось $Oy$ направим вертикально вверх, а ось $Ox$ — горизонтально.Сила $\vec{N_1}$ перпендикулярна первой плоскости (наклоненной под углом $\alpha$), поэтому вектор $\vec{N_1}$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Аналогично, вектор $\vec{N_2}$ составляет угол $\beta$ с вертикалью.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси, предполагая, что плоскости образуют "желоб":

Проекция на ось $Ox$: $N_2 \sin\beta - N_1 \sin\alpha = 0$

Проекция на ось $Oy$: $N_1 \cos\alpha + N_2 \cos\beta - mg = 0$

Используем тригонометрические формулы приведения для угла $\beta = 90° - \alpha$: $\sin\beta = \sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$ и $\cos\beta = \cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$.

Система уравнений принимает вид:

1) $N_2 \cos\alpha - N_1 \sin\alpha = 0$

2) $N_1 \cos\alpha + N_2 \sin\alpha = mg$

Из первого уравнения выразим $N_2$ через $N_1$:

$N_2 = N_1 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = N_1 \tan\alpha$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$N_1 \cos\alpha + (N_1 \tan\alpha) \sin\alpha = mg$

$N_1 (\cos\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}) = mg$

$N_1 (\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos\alpha}) = mg$

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, получаем:

$N_1 \frac{1}{\cos\alpha} = mg \implies N_1 = mg \cos\alpha$

Теперь найдем $N_2$:

$N_2 = N_1 \tan\alpha = (mg \cos\alpha) \tan\alpha = mg \sin\alpha$

Обозначим силу давления на плоскость с углом наклона $\alpha=30°$ как $F_{д1}$. Тогда $F_{д1} = N_1$. Соответственно, сила давления на вторую плоскость (с углом наклона $\beta=60°$) будет $F_{д2} = N_2$.

Выполним численные расчеты:

$F_{д1} = N_1 = mg \cos\alpha = 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \cos(30°) = 98 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 49\sqrt{3} \text{ Н} \approx 84.9 \text{ Н}$

$F_{д2} = N_2 = mg \sin\alpha = 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30°) = 98 \cdot 0.5 = 49 \text{ Н}$

Ответ: Сила давления на плоскость, составляющую угол $30°$ с горизонтом, равна $F_{д1} = 49\sqrt{3} \text{ Н} \approx 84.9 \text{ Н}$. Сила давления на вторую, перпендикулярную ей плоскость, равна $F_{д2} = 49 \text{ Н}$.