Номер 314, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 40 \text{ мм}$

$m = 0,30 \text{ кг}$

$R = 2,5 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$l = 40 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,04 \text{ м}$

$R = 2,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,025 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Найти:

$F_д$ - ?

Решение:

Шар находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленной вертикально вниз; силы натяжения веревки $\vec{T}$, направленной вдоль веревки; и силы нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленной перпендикулярно стене (горизонтально). По третьему закону Ньютона, сила давления шара на стену $F_д$ равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$.

$F_д = N$

Запишем условие равновесия шара в векторной форме:

$\vec{T} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$

Выберем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально от стены. Спроецируем уравнение равновесия на оси координат:

OX: $T_x - N = 0$

OY: $T_y - mg = 0$

Пусть веревка составляет с вертикалью угол $\alpha$. Тогда проекции силы натяжения на оси будут равны:

$T_x = T \sin\alpha$

$T_y = T \cos\alpha$

Подставим проекции в уравнения равновесия:

$T \sin\alpha - N = 0 \implies N = T \sin\alpha$

$T \cos\alpha - mg = 0 \implies T = \frac{mg}{\cos\alpha}$

Подставим выражение для $T$ из второго уравнения в первое:

$N = \frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = mg \tan\alpha$

Найдем угол $\alpha$ из геометрических соображений. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой крепления веревки к стене, центром шара и точкой на стене, находящейся на одной горизонтали с центром шара. Гипотенуза этого треугольника равна сумме длины веревки и радиуса шара: $l+R$. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен радиусу шара $R$.

Тогда синус угла $\alpha$ равен:

$\sin\alpha = \frac{R}{l+R}$

Вычислим значения $l+R$ и $\sin\alpha$:

$l+R = 0,04 \text{ м} + 0,025 \text{ м} = 0,065 \text{ м}$

$\sin\alpha = \frac{0,025}{0,065} = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$

Зная синус, найдем косинус и тангенс угла $\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$

Теперь можем вычислить модуль силы нормальной реакции, а следовательно, и модуль силы давления:

$F_д = N = mg \tan\alpha = 0,30 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \frac{5}{12} = 3 \text{ Н} \cdot \frac{5}{12} = \frac{15}{12} \text{ Н} = 1,25 \text{ Н}$

Ответ: $F_д = 1,25 \text{ Н}$.