Номер 313, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса балки, $M = 800$ кг

Длина балки, $l = 4,0$ м

Положение опоры от левого конца, $l_1 = 1,9$ м

Масса человека, $m = 80$ кг

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Расстояние от левого конца балки, на котором должен стоять человек, $x$ - ?

Решение:

Для того чтобы балка находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма моментов сил, действующих на нее относительно точки опоры, была равна нулю. Это правило рычага.

На балку действуют две силы, создающие вращающий момент относительно опоры:

1. Сила тяжести балки $F_M = Mg$, которая приложена в центре масс балки. Поскольку балка горизонтальная и, предположительно, однородная, ее центр масс находится посередине, на расстоянии $l/2$ от левого конца.

2. Сила тяжести человека $F_m = mg$, приложенная в точке, где стоит человек, на расстоянии $x$ от левого конца.

Центр масс балки находится на расстоянии $l/2 = 4,0 \text{ м} / 2 = 2,0$ м от левого конца. Опора находится на расстоянии $l_1 = 1,9$ м от левого конца. Так как центр масс балки ($2,0$ м) находится правее опоры ($1,9$ м), сила тяжести балки создает вращающий момент, направленный по часовой стрелке.

Плечо силы тяжести балки равно расстоянию от опоры до центра масс балки:

$d_M = l/2 - l_1$

Момент силы тяжести балки:

$\tau_M = M \cdot g \cdot d_M = M \cdot g \cdot (l/2 - l_1)$

Чтобы балка была в равновесии, человек должен создать уравновешивающий момент, направленный против часовой стрелки. Для этого он должен встать с другой стороны от опоры, то есть левее нее ($x < l_1$).

Плечо силы тяжести человека равно расстоянию от опоры до человека:

$d_m = l_1 - x$

Момент силы тяжести человека:

$\tau_m = m \cdot g \cdot d_m = m \cdot g \cdot (l_1 - x)$

По условию равновесия, моменты сил, вращающие тело в противоположных направлениях, должны быть равны:

$\tau_M = \tau_m$

$M \cdot g \cdot (l/2 - l_1) = m \cdot g \cdot (l_1 - x)$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$:

$M(l/2 - l_1) = m(l_1 - x)$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $x$:

$l_1 - x = \frac{M}{m}(l/2 - l_1)$

$x = l_1 - \frac{M}{m}(l/2 - l_1)$

Подставим числовые значения в формулу:

$x = 1,9 - \frac{800}{80} \cdot (4,0/2 - 1,9)$

$x = 1,9 - 10 \cdot (2,0 - 1,9)$

$x = 1,9 - 10 \cdot 0,1$

$x = 1,9 - 1,0$

$x = 0,9$ м

Ответ: человек должен стоять на расстоянии 0,9 м от левого конца балки.