Номер 317, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$l = 4,0$ м

$\alpha = 60°$

$F_{тр} = 0,20 \text{ кН} = 200 \text{ Н}$

$m = 60 \text{ кг}$

Найти:

$h$

Решение

Рассмотрим условие равновесия лестницы в момент, когда она готова начать скользить. На лестницу действуют следующие силы: сила тяжести человека $mg$, сила нормальной реакции опоры со стороны пола $N_1$, сила нормальной реакции опоры со стороны гладкой стены $N_2$ и максимальная сила трения покоя $F_{тр}$ со стороны пола. Поскольку масса лестницы пренебрежимо мала, мы ее не учитываем. Человека считаем материальной точкой.

Запишем первое условие равновесия (равенство нулю векторной суммы всех сил), спроецировав его на оси координат. Ось OX направим горизонтально вправо, ось OY — вертикально вверх. Начало координат — в точке касания лестницы с полом.

Проекция на ось OY:

$N_1 - mg = 0$

$N_1 = mg$

Проекция на ось OX:

$F_{тр} - N_2 = 0$

$N_2 = F_{тр}$

Запишем второе условие равновесия: сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. В качестве точки вращения выберем точку O — нижний конец лестницы. В этом случае моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ равны нулю, так как их плечи равны нулю.

Уравнение моментов сил:

$M(N_2) + M(mg) = 0$

Момент силы реакции стены $N_2$ вращает лестницу против часовой стрелки (положительный момент). Плечо этой силы равно $l \sin(\alpha)$.

$M(N_2) = N_2 \cdot l \sin(\alpha)$

Момент силы тяжести человека $mg$ вращает лестницу по часовой стрелке (отрицательный момент). Пусть человек поднялся на расстояние $x$ вдоль лестницы. Тогда плечо силы $mg$ равно $x \cos(\alpha)$.

$M(mg) = -mg \cdot x \cos(\alpha)$

Подставим моменты в уравнение равновесия:

$N_2 \cdot l \sin(\alpha) - mg \cdot x \cos(\alpha) = 0$

Высота $h$, на которую поднялся человек, связана с расстоянием $x$ по лестнице соотношением: $h = x \sin(\alpha)$, откуда $x = \frac{h}{\sin(\alpha)}$.

Подставим в уравнение моментов выражения для $N_2$ и $x$:

$F_{тр} \cdot l \sin(\alpha) - mg \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)} \cos(\alpha) = 0$

Выразим искомую высоту $h$:

$F_{тр} \cdot l \sin(\alpha) = mg \cdot h \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

$h = \frac{F_{тр} \cdot l \sin^2(\alpha)}{mg \cos(\alpha)}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения:

$h = \frac{200 \text{ Н} \cdot 4,0 \text{ м} \cdot (\sin(60°))^2}{60 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot \cos(60°)} = \frac{800 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{600 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{800 \cdot \frac{3}{4}}{300} = \frac{600}{300} = 2,0 \text{ м}$

Ответ: $h = 2,0$ м.