Номер 324, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Радиус однородной тонкой пластинки: $R$

Радиус вырезанного отверстия: $r = \frac{R}{2}$

Отверстие касается края пластинки.

Найти:

Положение центра тяжести пластинки: $x$

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом отрицательных масс. Пластинку с вырезанным отверстием можно представить как сплошную пластинку радиусом $R$, из которой вычли (добавили с отрицательной массой) пластинку радиусом $r = R/2$.

Введем систему координат. Пусть центр сплошной пластинки радиусом $R$ находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Ось $Ox$ проведем через центр вырезанного отверстия. Поскольку отверстие касается края пластинки, его центр будет находиться в точке с координатой $x_2 = R - r = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Координата центра тяжести (центра масс) системы определяется по формуле:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $x_1$ — масса и координата центра тяжести сплошной пластинки, а $m_2$ и $x_2$ — масса и координата центра тяжести вырезанной части.

Поскольку пластинка однородная и тонкая, ее масса пропорциональна площади: $m = \sigma S$, где $\sigma$ — поверхностная плотность. Тогда формулу можно переписать через площади:

$x_c = \frac{\sigma S_1 x_1 + \sigma S_2 x_2}{\sigma S_1 + \sigma S_2} = \frac{S_1 x_1 + S_2 x_2}{S_1 + S_2}$

Для нашей задачи используем отрицательную площадь для вырезанной части.

1. Сплошная пластинка:

Площадь: $S_1 = \pi R^2$

Координата центра тяжести: $x_1 = 0$

2. Вырезанная часть (с "отрицательной" площадью):

Радиус: $r = \frac{R}{2}$

Площадь: $S_2 = -\pi r^2 = -\pi (\frac{R}{2})^2 = -\frac{\pi R^2}{4}$

Координата центра тяжести: $x_2 = \frac{R}{2}$

Подставим эти значения в формулу для координаты центра тяжести итоговой пластинки:

$x = \frac{S_1 x_1 + S_2 x_2}{S_1 + S_2} = \frac{\pi R^2 \cdot 0 + (-\frac{\pi R^2}{4}) \cdot \frac{R}{2}}{\pi R^2 + (-\frac{\pi R^2}{4})}$

Упростим выражение:

$x = \frac{-\frac{\pi R^3}{8}}{\pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4}} = \frac{-\frac{\pi R^3}{8}}{\frac{3\pi R^2}{4}}$

Сократим $\pi$ и $R^2$:

$x = \frac{-R/8}{3/4} = -\frac{R}{8} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4R}{24} = -\frac{R}{6}$

Знак "минус" означает, что центр тяжести сместился от центра исходной пластинки в сторону, противоположную вырезанному отверстию.

Ответ: Центр тяжести пластинки находится на расстоянии $R/6$ от центра исходного круга в сторону, противоположную отверстию. Его координата $x = -R/6$.