Номер 322, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Цинковый шар (индекс 1) и алюминиевый шар (индекс 2).

Радиусы шаров: $R_1 = R_2 = R$.

Плотность цинка (справочное значение): $\rho_1 = 7140 \text{ кг/м}^3$.

Плотность алюминия (справочное значение): $\rho_2 = 2700 \text{ кг/м}^3$.

Найти:

$x$ - положение центра тяжести системы.

Решение:

Положение центра тяжести (или центра масс) системы, состоящей из двух материальных точек, определяется по формуле:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $x_1$ и $x_2$ — координаты их центров тяжести. Для однородных шаров центры тяжести совпадают с их геометрическими центрами.

Выберем систему координат. Направим ось $Ox$ вдоль линии, соединяющей центры шаров. Поместим начало координат ($x=0$) в точку касания шаров.

Пусть цинковый шар, как более плотный, располагается справа от начала координат, а алюминиевый — слева. Тогда координаты их центров:

Координата центра цинкового шара: $x_1 = R$.

Координата центра алюминиевого шара: $x_2 = -R$.

Массы шаров выражаются через их объемы $V$ и плотности $\rho$. Поскольку радиусы шаров одинаковы, их объемы также равны:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Масса цинкового шара:

$m_1 = \rho_1 V = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_1$

Масса алюминиевого шара:

$m_2 = \rho_2 V = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_2$

Подставим эти выражения в формулу для координаты центра тяжести системы:

$x = \frac{(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_1) \cdot R + (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_2) \cdot (-R)}{\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_1 + \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_2}$

Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе:

$x = \frac{\rho_1 R - \rho_2 R}{\rho_1 + \rho_2}$

Вынесем $R$ за скобки:

$x = R \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$

Теперь подставим числовые значения плотностей цинка ($\rho_1$) и алюминия ($\rho_2$):

$x = R \frac{7140 - 2700}{7140 + 2700} = R \frac{4440}{9840} = R \frac{37}{82}$

Вычислим приближенное значение:

$x \approx 0.451 R$

Положительный результат означает, что центр тяжести системы смещен от точки касания в сторону более плотного тела — цинкового шара.

Ответ: Центр тяжести системы находится на линии, соединяющей центры шаров, на расстоянии $x = R \frac{\rho_{Zn} - \rho_{Al}}{\rho_{Zn} + \rho_{Al}} = \frac{37}{82}R \approx 0.45R$ от точки их касания в сторону цинкового шара.