Номер 329, страница 66 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Толщина льдины, $h = 20 \text{ см}$

Площадь льдины, $S = 1,0 \text{ м}^2$

Плотность камня, $\rho_к = 2,2 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Перевод в систему СИ:

$h = 0,20 \text{ м}$

$\rho_к = 2,2 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Справочные данные:

Плотность пресной воды, $\rho_в \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность льда, $\rho_л \approx 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

Массу камня, $m - ?$

Модуль силы давления камня на льдину, $F_д - ?$

Решение:

По условию, льдина с камнем полностью погрузились в воду. Это означает, что система находится в состоянии безразличного равновесия, и суммарная сила тяжести, действующая на льдину и камень, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на их суммарный объем.

Запишем условие плавания для системы «льдина + камень»:

$F_{тяж. общ.} = F_A$

Суммарная сила тяжести равна сумме сил тяжести льдины и камня:

$F_{тяж. общ.} = (m_л + m) \cdot g = (\rho_л V_л + m) \cdot g$

где $m_л$ и $V_л$ – масса и объем льдины, а $m$ – искомая масса камня. Объем льдины можно найти как $V_л = S \cdot h$.

Выталкивающая сила, действующая на полностью погруженную систему, равна весу вытесненной воды в объеме, равном суммарному объему льдины и камня:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot (V_л + V_к)$

где $V_к$ – объем камня, который выражается через его массу и плотность как $V_к = \frac{m}{\rho_к}$.

Приравняем выражения для сил, сократив на $g$:

$\rho_л V_л + m = \rho_в (V_л + V_к)$

Подставим выражение для объема камня:

$\rho_л V_л + m = \rho_в V_л + \rho_в \frac{m}{\rho_к}$

Сгруппируем члены, содержащие искомую массу $m$, в левой части уравнения:

$m - m \frac{\rho_в}{\rho_к} = \rho_в V_л - \rho_л V_л$

$m \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_к}\right) = (\rho_в - \rho_л) V_л$

Отсюда выражаем массу камня $m$:

$m = \frac{(\rho_в - \rho_л) S \cdot h}{1 - \frac{\rho_в}{\rho_к}}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$m = \frac{(1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot 1,0 \text{ м}^2 \cdot 0,20 \text{ м}}{1 - \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{2200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}} = \frac{100 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,20 \text{ м}^3}{1 - \frac{5}{11}} = \frac{20 \text{ кг}}{\frac{6}{11}} = \frac{20 \cdot 11}{6} \text{ кг} = \frac{110}{3} \text{ кг} \approx 36,7 \text{ кг}$

Теперь найдем модуль силы давления $F_д$, которую камень оказывает на льдину, находясь в воде. Эта сила равна весу камня в воде (его кажущемуся весу). Вес тела в жидкости равен разности силы тяжести, действующей на тело, и выталкивающей силы, действующей на это же тело.

$F_д = P_{в} = F_{тяж. к} - F_{A. к} = m \cdot g - \rho_в \cdot g \cdot V_к$

Подставив $V_к = \frac{m}{\rho_к}$, получим:

$F_д = m \cdot g \left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_к}\right)$

Подставим числовые значения, используя точное значение массы $m = \frac{110}{3} \text{ кг}$, чтобы избежать погрешности округления:

$F_д = \frac{110}{3} \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \left(1 - \frac{1000}{2200}\right) = \frac{110}{3} \cdot 9,8 \cdot \left(\frac{1200}{2200}\right) = \frac{110}{3} \cdot 9,8 \cdot \frac{6}{11} = \frac{110 \cdot 6}{3 \cdot 11} \cdot 9,8 \text{ Н} = 20 \cdot 9,8 \text{ Н} = 196 \text{ Н}$

С учетом того, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результаты:

$m \approx 37 \text{ кг}$

$F_д = 196 \text{ Н} \approx 2,0 \cdot 10^2 \text{ Н}$

Ответ: чтобы льдина с камнем полностью погрузились в воду, масса камня должна быть $m \approx 37 \text{ кг}$; при этом модуль силы давления камня на льдину в воде составит $F_д = 196 \text{ Н}$.