Номер 323, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 1,0$ кг

$m_2 = 5,0$ кг

$m_3 = 7,0$ кг

$m_4 = 9,0$ кг

$l = 20$ см = $0,2$ м

Найти:

$x$ - расстояние от центра третьего шара до точки опоры.

Решение:

Для того чтобы легкий стержень с шарами находился в равновесии в горизонтальном положении, сумма моментов сил, действующих на него относительно точки опоры, должна быть равна нулю. Это условие равновесия рычага.

$ \sum M = 0 $

Силы, действующие на стержень, это силы тяжести каждого шара $F_i = m_i g$. Момент силы определяется как произведение силы на плечо (расстояние от точки опоры до линии действия силы), $M = F \cdot d$.

Пусть точка опоры находится на искомом расстоянии $x$ от центра третьего шара. Предположим, что опора расположена между третьим и четвертым шарами. Тогда силы тяжести первого, второго и третьего шаров создают вращающий момент в одну сторону (например, по часовой стрелке), а сила тяжести четвертого шара — в противоположную (против часовой стрелки).

Определим плечи сил относительно точки опоры:
плечо для первого шара: $d_1 = 2l + x$;
плечо для второго шара: $d_2 = l + x$;
плечо для третьего шара: $d_3 = x$;
плечо для четвертого шара: $d_4 = l - x$.

Запишем уравнение моментов, приравнивая сумму моментов, вращающих стержень по часовой стрелке, к сумме моментов, вращающих его против часовой стрелки:

$M_1 + M_2 + M_3 = M_4$

$m_1 g d_1 + m_2 g d_2 + m_3 g d_3 = m_4 g d_4$

Ускорение свободного падения $g$ можно сократить:

$m_1 (2l + x) + m_2 (l + x) + m_3 x = m_4 (l - x)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:

$2m_1 l + m_1 x + m_2 l + m_2 x + m_3 x = m_4 l - m_4 x$

$m_1 x + m_2 x + m_3 x + m_4 x = m_4 l - 2m_1 l - m_2 l$

$x(m_1 + m_2 + m_3 + m_4) = l(m_4 - 2m_1 - m_2)$

Выразим искомое расстояние $x$:

$x = l \frac{m_4 - 2m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$x = 20 \text{ см} \cdot \frac{9,0 - 2 \cdot 1,0 - 5,0}{1,0 + 5,0 + 7,0 + 9,0}$

$x = 20 \text{ см} \cdot \frac{9,0 - 2,0 - 5,0}{22,0}$

$x = 20 \text{ см} \cdot \frac{2,0}{22,0} = 20 \text{ см} \cdot \frac{1}{11}$

$x = \frac{20}{11} \text{ см} \approx 1,818... \text{ см}$

Положительное значение $x$ подтверждает, что точка опоры действительно находится между третьим и четвертым шарами. Округлим результат до двух значащих цифр в соответствии с точностью исходных данных.

Ответ: Стержень необходимо подпереть на расстоянии 1,8 см от центра третьего шара в сторону четвертого шара.