Номер 321, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус колеса: $R$

Масса колеса: $m$

Высота ступеньки: $h$ (при условии $R > h$)

Найти:

$F$ — модуль наименьшей горизонтально направленной силы.

Решение:

Чтобы колесо могло подняться на ступеньку, необходимо приложить такую силу $F$, которая создаст вращающий момент относительно точки опоры (края ступеньки, точка O), достаточный для преодоления момента силы тяжести $mg$, который препятствует подъему.

В предельном случае, когда колесо только начинает отрываться от горизонтальной поверхности и подниматься на ступеньку, оно находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма моментов сил относительно точки O равна нулю. Момент силы реакции опоры со стороны края ступеньки равен нулю, так как эта сила приложена к самой оси вращения. Сила реакции опоры со стороны горизонтальной поверхности также равна нулю, поскольку колесо отрывается от нее.

Рассмотрим моменты, создаваемые силой $F$ и силой тяжести $mg$.

1. Момент силы тяжести $M_{mg}$. Сила тяжести $mg$ приложена к центру масс колеса (его геометрическому центру) и направлена вертикально вниз. Она создает момент, вращающий колесо по часовой стрелке (препятствующий подъему). Плечо этой силы $l_{mg}$ — это горизонтальное расстояние от точки O до линии действия силы тяжести. Его можно найти из прямоугольного треугольника, образованного центром колеса C, точкой опоры O и точкой, лежащей на одной вертикали с C и на одной горизонтали с O. Гипотенуза этого треугольника равна радиусу $R$, а вертикальный катет равен $R-h$. Тогда по теореме Пифагора находим горизонтальный катет (плечо $l_{mg}$):

$l_{mg} = \sqrt{R^2 - (R-h)^2} = \sqrt{R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2)} = \sqrt{2Rh - h^2}$

Таким образом, момент силы тяжести равен:

$M_{mg} = mg \cdot l_{mg} = mg\sqrt{2Rh - h^2}$

2. Момент силы $F$. Горизонтальная сила $F$ приложена к оси колеса. Она создает момент, вращающий колесо против часовой стрелки (способствующий подъему). Плечо этой силы $l_F$ — это вертикальное расстояние от точки O до линии действия силы $F$, которое равно:

$l_F = R - h$

Момент силы $F$ равен:

$M_F = F \cdot l_F = F(R-h)$

Для начала подъема необходимо, чтобы вращающий момент силы $F$ был как минимум равен моменту силы тяжести:

$M_F \ge M_{mg}$

Наименьшая сила $F$ соответствует условию равенства моментов:

$F(R-h) = mg\sqrt{2Rh - h^2}$

Отсюда находим модуль силы $F$:

$F = \frac{mg\sqrt{2Rh - h^2}}{R-h}$

Ответ: $F = \frac{mg \sqrt{2Rh - h^2}}{R-h}$.