Номер 327, страница 65 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Толщина льдины, $h = 50 \text{ см}$

Масса человека, $m = 75 \text{ кг}$

Плотность пресной воды, $\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Плотность льда, $\rho_{льда} = 900 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Перевод в систему СИ:

$h = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Наименьшую площадь льдины $S$.

Решение:

Чтобы льдина с человеком могла держаться на воде, действующая на них суммарная сила тяжести должна быть уравновешена выталкивающей силой Архимеда. Минимальная площадь льдины соответствует предельному случаю, когда льдина полностью погружена в воду, то есть ее верхняя кромка находится на одном уровне с поверхностью воды. В этом случае выталкивающая сила максимальна.

Запишем условие равновесия сил, действующих на систему «льдина + человек» в вертикальном направлении:

$F_A = P_{общ}$

где $F_A$ – сила Архимеда, а $P_{общ}$ – суммарный вес человека и льдины.

Суммарный вес равен сумме веса человека $P_{чел}$ и веса льдины $P_{льд}$:

$P_{общ} = P_{чел} + P_{льд} = m \cdot g + m_{льд} \cdot g$

Массу льдины $m_{льд}$ можно выразить через её объём $V_{льд}$ и плотность $\rho_{льда}$:

$m_{льд} = \rho_{льда} \cdot V_{льд}$

Объём плоской льдины равен произведению её площади $S$ на толщину $h$:

$V_{льд} = S \cdot h$

Тогда суммарный вес системы можно записать как:

$P_{общ} = (m + \rho_{льда} \cdot S \cdot h) \cdot g$

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженную в воду льдину, равна весу вытесненной воды:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$

Так как льдина погружена полностью, объём её погруженной части $V_{погр}$ равен её полному объёму $V_{льд}$:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot h$

Теперь приравняем выражения для силы Архимеда и суммарного веса:

$\rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot h = (m + \rho_{льда} \cdot S \cdot h) \cdot g$

Ускорение свободного падения $g$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$\rho_{воды} \cdot S \cdot h = m + \rho_{льда} \cdot S \cdot h$

Для того чтобы найти площадь $S$, сгруппируем все члены, содержащие $S$, в одной части уравнения:

$\rho_{воды} \cdot S \cdot h - \rho_{льда} \cdot S \cdot h = m$

Вынесем общий множитель $S \cdot h$ за скобки:

$S \cdot h \cdot (\rho_{воды} - \rho_{льда}) = m$

Из этого выражения найдём искомую площадь $S$:

$S = \frac{m}{h \cdot (\rho_{воды} - \rho_{льда})}$

Подставим числовые значения из условия задачи и справочных данных:

$S = \frac{75 \text{ кг}}{0.5 \text{ м} \cdot (1000 \text{ кг/м}^3 - 900 \text{ кг/м}^3)} = \frac{75}{0.5 \cdot 100} = \frac{75}{50} = 1.5 \text{ м}^2$

Ответ: $S = 1.5 \text{ м}^2$.